洛谷 P1776 宝物筛选（多重背包+二进制优化）

传送门

题目：

---

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6;//数组需要开的大一点，因为二进制优化需要更多的存储空间 
int v,w,m;
int dp[N],weight[N],value[N];
int main()
{
    
    
	int n,W;
	cin>>n>>W;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
    
    
		cin>>v>>w>>m;
		//二进制优化 
		for(int j=1;j<=m;j<<=1){
    
    
			value[++cnt]=v*j,weight[cnt]=w*j;
			m-=j;
		}
		if(m) value[++cnt]=m*v,weight[cnt]=m*w;
	}
	//接下来就相当于01背包了 
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
    
    
		for(int j=W;j>=weight[i];j--){
    
    
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
		}
	}
	cout<<dp[W]<<endl;
	return 0;
}

---

总结：

这是一道多重背包的问题，为了降低时间复杂度使用到了二进制优化。

个人理解二进制优化就是预处理我们输入的物品，将物品的总数通过二进制递增的方式降下来。看B站视频时up主举了一个例子：

由这个例子可以看出，二进制优化就是把数量依次分解为若干个二进制数和剩下的余数，而这些数可以组合表示1~m中的任意一个整数

通过这样的方式，等于把我们的物品的总数变多了，然而每个物品的数量都是1，最后动态规划的时候就相当于做01背包了

时间上，原本是数量从1到m进行枚举，优化后变成了从2^0乘2枚举，时间大大缩短了。