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二进制拆分，无话可说
题目描述
终于，破解了千年的难题。小FF找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物……这下小FF可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小FF的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小FF只能含泪舍弃其中的一部分宝物了……小FF对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小FF有一个最大载重为W的采集车，洞穴里总共有n种宝物，每种宝物的价值为v[i]，重量为w[i]，每种宝物有m[i]件。小FF希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。
输入格式
第一行为一个整数N和w，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。
接下来n行每行三个整数，其中第i行第一个数表示第i类品价值，第二个整数表示一件该类物品的重量，第三个整数为该类物品数量。
输出格式
输出仅一个整数ans，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。
输入输出样例
输入 #1
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3
输出 #1
47
说明/提示
对于30%的数据：n≤∑m[i]≤104；0≤W≤103。
对于100%的数据：n≤∑m[i]≤10^5；
0 <w≤4*10^4：1≤n<100。
解法：二进制拆分
刚学二进制拆分，一看到这道题秒切？？？
还有二进制拆分比单调队列好打多了啊
看到这道题，我们可以用多重背包来解决，但是数据太大了，多重背包那n^3的时间复杂度绝对会炸
于是我们考虑用二进制拆分
核心思想：因为每个数都可以用二进制数来表示，所以我们可以把他拆为2的次方和，对于每一部分我们用01背包来解决
因为这道题的w≤4 * 10^4， 而 2^16=65536，所以对于每个物品只要开16个空间就可以了，100*16=1600
AC代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define re register int
using namespace std;
int n,W,a[105],b[105],c[105];
int tp,v[2222],w[2222],f[40005];//防止RE，所以我开到了两千
inline void pre() {//二进制拆分
for(re i=1;i<=n;i++) {
int t=1;
while(c[i]) {
v[++tp]=t*a[i];
w[tp]=t*b[i];
c[i]-=t; t*=2;
if(c[i]<t) {//不足再继续拆分，直接放到一个格子里
v[++tp]=a[i]*c[i];
w[tp]=b[i]*c[i];
break;
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&W);
for(re i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
}
pre();
for(re i=1;i<=tp;i++)//01背包板子
for(re j=W;j>=w[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
printf("%d",f[W]);
return 0;
}