2018.10.15【BZOJ4766】文艺计算姬（矩阵快速幂）（矩阵树）（prufer序列）（结论题）

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传送门

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解析：

显然可以用 $Matrix-Tree$来做 推导。

思路：

我们直接建出基尔霍夫矩阵 $H$，显然我们可以把它分成四块：
左上角为 $A$是一个 $n\times n$的对角线为 $m$的矩阵，其余为0。
右上角为 $B$是一个 $n\times (m-1)$的全部为 $-1$的矩阵
左下角为 $C$是一个 $(m-1)\times n$的全部为 $-1$的矩阵，即矩阵 $B$的转置
右下角为 $D$是一个 $(m-1)\times (m-1)$的对角线为 $n$的矩阵，其余为0。

把矩阵推导一下： $|H|=|A|\times |D-C\times A^{-1}\times B|$

那么 $|A|$就显然是 $n^m$。

后面的再推一下。

$A^{-1}$是 $A$的逆，规模相同，对角线为 $1/m$。

那么这一坨就可以推出了： $C\times A^{-1}\times B$是一个规模为 $(m-1)\times(m-1)$，所有元素为 $n/m$的矩阵。

后面一大坨就直接作差得到一个矩阵 $T$， $T$的对角线上全部是 $n-n/m$，其余部分是 $-n/m$，规模为 $(m-1)\times (m-1)$。

我们直接把 $n/m$提出来得到新的矩阵 $T'$， $T'$的对角线就全部都是 $m-1$，其余部分全部都是 $-1$。

这个 $T'$。。。

好的这道题做完了。

这个 $T'$对应的基尔霍夫矩阵求的就是有 $m$个节点的无向完全图的生成树个数 。由 $prufer$序列瞎推一波可以知道生成树个数就是 $m^{m-2}$

再把刚才提出来的 $(n/m)^{m-1}$和原来的 $|A|$乘回去就可以知道我们要求的东西了 $K_{n,m}=|H_{n,m}|=n^{m-1}\times m^{n-1}$

trick:

直接乘肯定会爆 $long long$，考场上又不可能用__int128。
所以去学习一下龟速乘吧。

当然还有 $O(1)$的龟速乘。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline ll getint(){
	re ll num;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
	while(isdigit(c=gc()))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48);
	return num;
}

ll mod;

inline ll mul(ll a,ll b){
	return (a*b-(ll)((long double)a/mod*b)*mod+mod)%mod;
/*	ll ans=0;
	while(b){
		if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
		a=(a+a)%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;*/
}

inline ll quickpow(ll a,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

ll n,m;
signed main(){
	n=getint(),m=getint(),mod=getint();
	cout<<(ll)mul(quickpow(n,m-1),quickpow(m,n-1));
	return 0;
}