题目
给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：
输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：
输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：
输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
进阶：
你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
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解题思路
考虑使用动态规划，从第一位开始，分别记录位置 i 之前的最长递增子序列，在其后 j 位置上，如果数值比 i 位数值要大，则 j 位置的元素可以接在 i 后方，子序列长度为 i 的子序列长度加一，代码如下：
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.size()==0)
return 0;
int max=1;//初始最长递增子序列为1
vector<int> dp(nums.size(),1);//储存各位及其之前的子序列长度
for(int i=0;i<nums.size();i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(nums[i]>nums[j]&&dp[i]<dp[j]+1)
dp[i]=dp[j]+1;
}
if(dp[i]>max)
max=dp[i];
}
return max;
}
};
代码执行效果一般
根据题目进阶要求时间复杂度降低到 O(n log(n)) ，看题解学习更优解法
优化解法
官解提出使用贪心+二分查找的解法，内容如下：
考虑一个简单的贪心，如果我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。
基于上面的贪心思路，我们维护一个数组 d[i]d[i] ，表示长度为 ii 的最长上升子序列的末尾元素的最小值，用 \textit{len}len 记录目前最长上升子序列的长度，起始时 lenlen 为 11，d[1] = \textit{nums}[0]d[1]=nums[0]。
同时我们可以注意到 d[i]d[i] 是关于 ii 单调递增的。因为如果 d[j] \geq d[i]d[j]≥d[i] 且 j < ij<i，我们考虑从长度为 ii 的最长上升子序列的末尾删除 i-ji−j 个元素，那么这个序列长度变为 jj ，且第 jj 个元素 xx（末尾元素）必然小于 d[i]d[i]，也就小于 d[j]d[j]。那么我们就找到了一个长度为 jj 的最长上升子序列，并且末尾元素比 d[j]d[j] 小，从而产生了矛盾。因此数组 dd 的单调性得证。
我们依次遍历数组 \textit{nums}nums 中的每个元素，并更新数组 dd 和 lenlen 的值。如果 \textit{nums}[i] > d[\textit{len}]nums[i]>d[len] 则更新 len = len + 1len=len+1，否则在 d[1 \ldots len]d[1…len]中找满足 d[i - 1] < \textit{nums}[j] < d[i]d[i−1]<nums[j]<d[i] 的下标 ii，并更新 d[i] = \textit{nums}[j]d[i]=nums[j]。
根据 dd 数组的单调性，我们可以使用二分查找寻找下标 ii，优化时间复杂度。
最后整个算法流程为：
设当前已求出的最长上升子序列的长度为 \textit{len}len（初始时为 11），从前往后遍历数组 \textit{nums}nums，在遍历到 \textit{nums}[i]nums[i] 时：
如果 \textit{nums}[i] > d[\textit{len}]nums[i]>d[len] ，则直接加入到 dd 数组末尾，并更新 \textit{len} = \textit{len} + 1len=len+1；
否则，在 dd 数组中二分查找，找到第一个比 \textit{nums}[i]nums[i] 小的数 d[k]d[k] ，并更新 d[k + 1] = \textit{nums}[i]d[k+1]=nums[i]。
以输入序列 [0, 8, 4, 12, 2][0,8,4,12,2] 为例：
第一步插入 00，d = [0]d=[0]；
第二步插入 88，d = [0, 8]d=[0,8]；
第三步插入 44，d = [0, 4]d=[0,4]；
第四步插入 1212，d = [0, 4, 12]d=[0,4,12]；
第五步插入 22，d = [0, 2, 12]d=[0,2,12]。
最终得到最大递增子序列长度为 33。
作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-by-leetcode-soluti/
来源：力扣（LeetCode）
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代码如下：
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if(nums.size()==0)
return 0;
int len=1;//记录子序列
vector<int> d(nums.size()+1,0);//长度进一位方便计算
d[len]=nums[0];
for(int i=1;i<nums.size();i++){
if(nums[i]>d[len])
d[++len]=nums[i];
else{
int l=1,r=len,pos=0;
int mid=(l+r)/2;
while (l <= r) {
int mid = (l + r)/2;
if (d[mid] < nums[i]) {
pos = mid;
l = mid + 1;
} else {
r = mid - 1;
}
}
d[pos + 1] = nums[i];
}
}
return len;
}
};
代码执行效果较好
