【ACWing】9. 分组背包问题

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/9/

有$N$组物品和一个容量是$V$的背包。每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是$v_{ij}$，价值是$w_{ij}$，其中$i$是组号，$j$是组内编号。求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

数据范围：
$0<N,V\le 100$
$0<S_i\le 100$
$0<v_{ij},w_{ij}\le 100$

思路是动态规划。设$f[i][c]$是只从前$i$组物品里选，并且总重量不超过$c$的情况下，能得到的最大价值。那么可以按照第$i$组物品选哪个来分类（第$i$组不选也算一类）。则有： f [ i ] [ c ] = max ⁡ j { f [ i − 1 ] [ c ] , f [ i − 1 ] [ c − w i j ] + v i j } f[i][c]=\max_j\{f[i-1][c],f[i-1][c-w_{ij}]+v_{ij}\} f[i][c]=jmax​{ f[i−1][c],f[i−1][c−wij​]+vij​}代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++) 
            cin >> w[i][j] >> v[i][j];
    }
        
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
    
    
        	// 枚举不选第i组的情况
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 枚举第i组选哪个
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
                if (j >= w[i][k])
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i][k]] + v[i][k]);
        }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(V\sum S_i)$，空间$O(NV)$。

可以优化空间，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int n, m;
int f[N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++) 
            cin >> w[i][j] >> v[i][j];
    }
        
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    	// 要从大到小遍历，右边取的是上一层的结果
        for (int j = m; j >= 0; j--)
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
                if (j >= w[i][k])
                    f[j] = max(f[j], f[j - w[i][k]] + v[i][k]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

时间复杂度不变，空间$O(V)$。