【NOIP2013模拟联考9】旅行者问题

problem

Description

lahub是一个旅行者的粉丝，他想成为一个真正的旅行者，所以他计划开始一段旅行。lahub想去参观n个目的地（都在一条直道上）。lahub在起点开始他的旅行。第i个目的地和起点的距离为ai千米（ai为非负整数）。不存在两个目的地和起点的距离相同。

从第i个目的地走到第j个目的地所走的路程为 |ai-aj|千米。我们把参观n个目的地的顺序称作一次“旅行”。lahub可以参观他想要参观的任意顺序，但是每个目的地有且只能被参观一次（参观顺序为n的排列）。

lahub把所有可能的“旅行”都写在一张纸上，并且记下每个“旅行”所要走的路程。他对所有“旅行”的路程之和的平均值感兴趣。但是他觉得计算太枯燥了，所以就向你寻求帮助。

Input

第一行一个正整数n。

第二行n个非负整数a1,a2,…,an（1≤ai≤10^7）。

Output

两个整数，答案用最简分数形式输出，第一个为分子，第二个为分母。

Sample Input

3

2 3 5

Sample Output

22 3

【样例提示】

样例有6种可能的旅行：

[2, 3, 5]: 该“旅行”的路程：|2 – 0| + |3 – 2| + |5 – 3| = 5;

[2, 5, 3]: |2 – 0| + |5 – 2| + |3 – 5| = 7;

[3, 2, 5]: |3 – 0| + |2 – 3| + |5 – 2| = 7;

[3, 5, 2]: |3 – 0| + |5 – 3| + |2 – 5| = 8;

[5, 2, 3]: |5 – 0| + |2 – 5| + |3 – 2| = 9;

[5, 3, 2]: |5 – 0| + |3 – 5| + |2 – 3| = 8.

答案为 $\frac{1}{6}\times$（5+7+7+8+9+8）=$\frac{44}{6}$ = $\frac{22}{3}$

Data Constraint

30% n<=10

50% n<=1000

100% n<=100000

思路

首先将数据从小到大排序，就不用考虑绝对值的问题了。
这道题分为分母和分子两个部分讨论，显然，分母为 $n!$。
如果我们设第0个位置为0，接下来分子又可以分为两种情况：
1 . $0\to a_i$，可得：
$sum1=\sum a_i$，$tot1=sum1\times (n-1)!$
2 . $a_i\to a_j$,可得：
$sum2=2\times \sum (a_i-a_j)$，$tot2=sum2\times (n-1)!$
这些公式的证明过程在这里就不赘述了。
将上述公式合成答案即为：$$\frac{tot1+tot2}{n!}$$
接着：
$$\frac{(n-1)!\times (sum1+sum2)}{n!}$$
$last：$
$$\frac{sum1+sum2}{n}$$
公式推来了，但时间复杂度的问题还没有解决。
$\sum a_i$求值的时间复杂度是$O(n)$。但$\sum (a_i-a_j)$复杂度为$O(n^2)$，会TLE。接下来要考虑的就是$(a_i-a_j)$的求值方式。
由于$a_i$只会减${\sum }_{k=1}^{i-1}{a}_k$，所以每个$a_i$要减的就是$a_{i-1}$的前缀和，这样就可以在$O(n)$时间内求出。
最后将答案化为最简即可。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout)
#define N 100005
using namespace std;
long long n,a[N],s[N];
long long gcd(long long n,long long m)
{
    
    
	long long t;
	if(n>m) swap(n,m);
	while(n!=0)
	{
    
    
		t=m%n;
		m=n;
		n=t;
	}
	return m;
}
void qsort(int l,int r)
{
    
    
	int i=l,j=r,mid=a[(l+r)/2];
	while(i<=j)
	{
    
    
		while(a[i]<mid) i++;
		while(a[j]>mid) j--;
		if(i<=j)
		{
    
    
			long long t;
			t=a[i],a[i]=a[j],a[j]=t;
			i++,j--;
		}
	}
	if(l<j) qsort(l,j);
	if(i<r) qsort(i,r);
}
int main()
{
    
    
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	qsort(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		s[i]=s[i-1]+a[i];
	long long s1=0,s2=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		s1+=a[i],s2+=2*(a[i]*(i-1)-s[i-1]);
	long long s3=s1+s2,gd;
	gd=gcd(s3,n);
	printf("%lld %lld",s3/gd,n/gd);
}