算法笔记【5】快速幂

快速幂简介

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以Ologn的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也都会用到快速幂。

让我们先来思考一个问题：7的10次方，怎样算比较快？

方法1：最朴素的想法，7*7=49，49*7=343，… 一步一步算，共进行了9次乘法。

这样算无疑太慢了，尤其对计算机的CPU而言，每次运算只乘上一个个位数，无疑太屈才了。这时我们想到，也许可以拆分问题。

方法2：先算7的5次方，即7*7*7*7*7，再算它的平方，共进行了5次乘法。

但这并不是最优解，因为对于“7的5次方”，我们仍然可以拆分问题。

方法3：先算7*7得49，则7的5次方为49*49*7，再算它的平方，共进行了4次乘法。

模仿这样的过程，我们得到一个在 Ologn 时间内计算出幂的算法，也就是快速幂。

递归快速幂

刚刚我们用到的，无非是一个二分的思路。我们很自然地可以得到一个递归方程：

在这里插入图片描述

计算a的n次方，如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a；递归出口是a的0次方为1。

递归快速幂的思路非常自然，代码也很简单（直接把递归方程翻译成代码即可）：

public static int qpow(int a, int n) {
    
    
    if (n == 0) {
    
    
        return 1;
    } else if (n % 2 == 1) {
    
    
        return qpow(a, n - 1) * a;
    } else {
    
    
        int temp = qpow(a, n / 2);
        return temp * temp;
    }
}

注意，这个temp变量是必要的，因为如果不把a^(n/2)记录下来，直接写成qpow(a, n /2)，那会计算两次a^(n/2)，整个算法就退化为了 O(N) 。

大家知道，递归虽然简洁，但会产生额外的空间开销。我们可以把递归改写为循环，来避免对栈空间的大量占用，也就是非递归快速幂。

非递归快速幂

我们换一个角度来引入非递归的快速幂。还是7的10次方，但这次，我们把10写成二进制的形式，也就是（1010）。

现在我们要计算7^(1010) ，可以怎么做？我们很自然地想到可以把它拆分为7^(1000)*7(10)实际上，对于任意的整数，我们都可以把它拆成若干个 7^{(100…)的形式相乘。而这些7}(100…)，恰好就是7^1，72，7^4……我们只需不断把底数平方就可以算出它们。

我们先看代码，再来仔细推敲这个过程：

public static int qpow2(int a, int n) {
    
    
        int ans = 1;

        for (int i = n; i > 0; i >>= 1) {
    
    
            if (i % 2 == 1) {
    
    
                ans *= a;
            }
            a *= a;
        }

        return ans;
    }

最初ans为1，然后我们一位一位算：

1010的最后一位是0，所以a^{1这一位不要。然后1010变为101，a变为a}2。

101的最后一位是1，所以a^2这一位是需要的，乘入ans。101变为10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳过，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上a^8。循环结束，返回结果。

在这里插入图片描述

这里的位运算符，>>是右移，表示把二进制数往右移一位，相当于/2；&是按位与，&1可以理解为取出二进制数的最后一位，相当于%2==1。这么一等价，是不是看出了递归和非递归的快速幂的关系了？虽然非递归快速幂因为牵扯到二进制理解起来稍微复杂一点，但基本思路其实和递归快速幂没有太大的出入。

--------------最后感谢大家的阅读，愿大家技术越来越流弊！--------------

在这里插入图片描述

--------------也希望大家给我点支持，谢谢各位大佬了！！！--------------