【算法】快速幂运算

在计算 xⁿ 时，我们会怎么算呢？如果只是x * x * x * ... * x 这样每个数乘起来计算 n 次的的话，虽然算法简单，但是复杂度为 O(n) ，往往不能满足要求。让我们来考虑加速幂运算的方法。

如果 n = 2^k ，可以将其表示为  xⁿ = ((x²)²)... ，只要做 k 次平方运算就可以轻松求得。由此我们想到，先将 n 表示为2的幂次的和 n = 2^k1 + 2^k2 + 2^k3 + ... ，就有 xⁿ = x^{2^k1} x^{2^k2} x^{2^k3} ... ，只要在依次求 x^{2^i} 的同时计算就好了，最终得到了 O(logn) 计算幂运算的算法。比如计算x²²，可以把 x²² 表示为 x² * x⁴ * x¹⁶ （22转成二进制是10110）。在进行幂运算时，往往因为结果数字过大，而让我们输出取余后的结果。下面是一段参考代码：

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
 4     ll res = 1;
 5     while(n>0){
 6         if(n&1) res = res * x % mod;  //如果二进制最低位为1，则乘上x^(2^i)
 7         x = x * x % mod;  //将x平方
 8         n >>= 1;
 9     }
10     return res;
11 }

代码还是很容易理解的，先把n转化成二进制表示，然后每一位开始依次计算。如果二进制最低位为1，那么就将结果乘上x^{2^i} ( i 的值取决于现在算到哪一位，如果是第0位则 i = 0）。每次将x平方，然后将n右移一位，继续下一位的计算。比如计算x²²，就先把22转化成10110，最低位是0，res不变，x变成x²，右移变成1011；最低位是1，res乘上x²，x²再变为x⁴（也就是x^{2^2}），右移变成101；最低位是1，res乘上x⁴，x⁴再变为x⁸，右移变成10……依次类推，最终结果也就是res = x² * x⁴ * x¹⁶（此处没有考虑取余）。

---------------------------------------------下面是另一种思路。--------------------------------------------------------------

当n为偶数时有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) ，递归转为n/2的情况；n为奇数时有 xⁿ = ((x²)^(n/2)) * x ，同样也递归转为 n/2 的情况。这样不断递归下去，每次n都减半，于是可以在O(logn)时间内完成幂运算。这个比第一种似乎更容易想到也更易理解，下面给出代码：

 1 typedef long long ll;
 2 
 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){
 4     if(n == 0) return 1;
 5     if(n == 1) return  x % mod;
 6     ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod);
 7     if(n & 1)
 8         res = res * x % mod;
 9     return res;
10 }

还有一种非常类似的，f(x,n) = xⁿ，x为奇数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x，x为偶数那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。

1 ll f(int x,int n){
2     if(n==0) return 1;
3     if(n==1) return x;
4     if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x;  //如果n是奇数
5     else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1);   //如果n是偶数
6 }