组合数学|排列与组合

加法原理

完成一件事情，有N类方式去实现，第一类方式有 $a_1$种，第二类方法有$a_2$种，…，第N类方法有$a_n$种，则完成这件事情的总方法数为：
$$\sum _{i=1}^N{a}_i$$
例如：从北京到上海有火车、飞机、轮船 3 种方式，火车、飞机、轮船分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1+a2+a3 种方式可以到达。

乘法原理

做一件事，完成它要分成 n 个步骤，第一步有 $a_1$ 种不同的方法，第二步有 $a_2$ 种不同的方法，…，第 n 步有 $a_n$ 种不同的方法，那么完成这件事共有 $a_1\times a_2\times a_3\times \dots \times a_n$ 种不同的方法

例如：从北京乘坐火车到上海，需要转 3 次车，每次专车分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1×a2×a3 种方式可以到达。

排列组合

在排列与组合问题中，经常会出现计数问题，解决计数问题的思路一般有以下三种：

1）只取需要的。将各种符合条件的情形枚举出来，再利用加法原理求和。

2）先取后排。将各步符合条件的排列或组合计算出来，再根据乘法原理求积。

3）先全部取，再减去不要的。利用容斥定理，将各种符合条件的情形枚举出来，再减去不符合条件的。

排列数

从$n$个不同元素中取出$m(m<=n)$个元素的所有排列的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，⽤符号$A_n^m$表示
$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

组合数

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的所有组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数。⽤符号$C_n^m$或$C(n,m)$来表示
$$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

组合恒等式

1）$C_n^m=C_n^{n-m}$

2）$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ ★

3）$C_n^m=\frac{n}{m}{C}_{n-1}^{m-1}$

4）$C_n^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}\ast C_n^m$

5）$(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$（二项式定理）

特殊展开：$2^n=C_n^0+C_n^1+...+C_n^{n-1}+C_n^n$

6）$C_n^m$ 为奇数时有 n&m=n

求组合数的方法

递推求组合数$O(nm)$

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

乘法逆元求组合数$O(n)$

首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p)    // 快速幂模板
{
    
    
    int res = 1;
    while (k)
    {
    
    
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
    
    
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}

杨辉三角形打表$O(nm)$

$1$
$11$
$121$
$1331$
$14641$
…
我们不难发现其规律，每个数字等于其左上和上端的值，给定第$i$行第$j$列有，
$a[i][j]=a[i-1][j]+a[i-1][j-1]$
组合恒等式有：$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ ★
那么，杨辉三角形第$i$行第$j$列可表示为：$c_i^j$

 	f[0][0]=1;
    for(int i = 1; i < N; i++)
        for(int j = 1; j <= i + 1; j++)
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];

排列组合的应用

逐分法

需要分步骤完成的事件，我们首先想到的是乘法原理，对待事件逐一分配。

【例题】现在有12位警察，要分到3个路口每个路口4个人有多少种方案

【解析】第一个路口有$C_{12}^4$种选法，因为第一个路口已经用去了4位警察，所以第二个路口就只有$C_8^4$种了，第三个也只有$c_4^4$种了，根据乘法原理就可以得出总共的方案数就是$C_{12}^4\times C_8^4\times C_4^4$

捆绑法

要求元素相邻时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序。

【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数。

【解析】因为三个偶数2、4、6必须相邻，所以先将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有$A_3^3$=6种不同的“捆绑”方法;再将捆绑后的元素与1、3、5、7进行全排列，有$A_5^5$=120种方法，根据乘法原理共有6×120=720种不同的排法，所以共有720个符合条件的七位数。

插空法

要求元素不相邻时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而解决问题。

【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数。

【解析】因为三个偶数2、4、6互不相邻，所以先将1、3、5、7四个数字排好，有$A_4^4$=24种不同的排法，再将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的三个位置上，有$A_5^3$=60种排法，根据乘法原理共有24×60=1440种不同的排法，所以共有1440个符合条件的七位数。

隔板法

把$n$个相同的苹果分给$k$个人，要求每个人至少分到一个，求方案数。

把$n$个苹果排成一排，在其中插入$k-1$块隔板，表示$k$个人分到的部分。

插隔板的方法与分苹果的方案是一一对应的，那么方案数为$C_{n-1}^{k-1}$
那么如果有人可以分到$0$个苹果呢？

我们给每个人多分一个苹果，使得每个人至少分配到一个苹果，在分配完之后再将每个人的苹果拿走一个。

那么方案数为$C_{k+n-1}^{k-1}$(先给k个苹果，让他们一人一个，再分n个苹果。)
隔板法与不定方程整数解的问题
求不定方程$x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_k=n$的解的个数，要求$x_i>d_i$
设 $y_i=x_i-d_i>0$
那么有$y_1+y_2+y_3+...+y_k=n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k)$
答案:$$C_{n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k)-1}^{k-1}$$

（1）$O-O-O-O-O-O-O-O-O-O$ 9个空插3个隔板

答案为：$C_9^3$

（2）非负整数意为$x_i$可以是0，我们可以
$(x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)=14$
即为：$y_1+y_2+y_3+y_4=14$,13个空隙中插3个隔板
答案为：$C_{13}^3$

（3）根据设 $y_i=x_i-d_i>0$
$(x_1+3)+(x_2+2)+(x_3+1)+(x_4-1)=15$
即为：$y_1+y_2+y_3+y_4=15$,14个空隙中插3个隔板
答案为：$C_{14}^3$