排列数（C）与组合数（A）
排列数指的是在n个数中每次选取m不同的数 排列 的方案的数量(m<=n)，例如：
：有以下6种不同的排列：(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)。
组合数指的是在n个数中每次选取m个不同的数的 组合 的方案和数量(m<=n)，例如：
：有一下3种不同的组合：(1,2)(或者2,1),(1,3)(或者3,1),(2,3)（或者3,2)。
排列数的公式为
=
。
组合数的公式为
=
。
注意，！是一个运算。例如n！表示1*2*3*...*n，表示从1乘到n，但注意，0！=1（定义，不是公理）。（“ * ”是相乘的意思）。
有两个基本原理是排列与组合的基础：它们是加法原理与乘法原理。
加法原理：做一件事，完成它可以有n类方法（也就是说只允许完成一种方法），在第一类办法中有
中不同的方法，第二类方法中有
中不同的方法，……，第n类方法中有
种不同的方法。那么，完成这件事一共有
种不同的方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要完成n个步骤，做第一步时有
种不同的方法
如果需要更加清晰的带图的解释请在评论区留言，我会抽时间补充解释的，但现在假装你们懂了。。。
那我们开始解释这两个公式。
先解释排列数：
首先理解排列是什么意思：
排列：从n个不同元素中任意取出m个元素(m<=n)（不能重复），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。那么从排列的意义可知，如果两个排列相同，必须是排列的顺序、排列的元素都相同。
顺便回个头看看排列数的定义：从n个不同元素中取出m个元素(m<=n)的所有不同排列的个数。
再来理解一下分子n！是什么意思：
n！，运用了乘法原理，表示这n个数的全排列的数量。（全排列：当m=n时的排列）。
全排列的数量为什么是“n!” ？
证明：首先我们在待放入n个数的空排列中放入第一个元素1。此时仅有一种排列那就是1。第二步，我们在这个只有一个元素的排列中放入第二个元素2，可以发现，第二个元素有2个位子可以放入，分别是1左边或1右边，得到两个排列（2,1）和（1,2）。第三步，我们放入元素3，可以发现，我们有第三个元素有3个位子可以放入（每一个排列的左边，中间，右边），在上一次的两种排列中，那两种排列每一个排列都有三种情况可以放置元素3。因为第二次放置的时候得出的两个排列是完全不同的，所以我们可以得到在第三次放入后不同的排列一共有3+3也就是2*3=6种完全不同排列。放入元素4的时候同理，答案为6+6+6+6即6*4即2*3*4种不同的全排列，相当于1*2*3*4也就是4！......到n时同理。（疏通一下思路：当前的每一种排列都是由上一种排列而来的，而第一种排列为1（特指全排列））证毕。（不要问我为什么我要在完全不同上加粗写红字，因为它非常重要）
再来解释分母（n-m)! ：
n-m得到的数字是选取了m个数字后剩余的数字。那么，它的意思很明显了，就是把n！这个全排列的方案数变成只有m个数字的排列的方案数（有空我会再来写一下为什么这样（可怜一下我这个作业都没写完的初中生吧）。自己证明了最好）。
那么好了，=
就表示为了从n个数中选取m个数的不同排列的数量了。
再来瞄一眼组合数：
组合数的公式=
和排列数公式
=
差不多，只不过组合数的分母多乘了m!。
再来一下组合的定义吧：在n个不同元素中，任取m个元素(m<=n)并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从组合的定义可知：如果两个组合不相同，必须要满足两个组合内的元素不相同，而此时，当两个组合内的元素顺序不同时，我们任把这两个组合看成相同组合。
再来谈谈组合数的定义：从n个不同元素中取出m个元素(m<=n)个元素的所有不同组合的个数。
现在，让我们从公式入手：=
。可以看出来，组合数的公式只和排列数的公式多了一个m!。不过你有可能会问了，为什么组合数要多除以1个m!呢？这就跟组合的定义有关了。组合不像排列，在排列中排列不同元素就是不同的排列，而在组合中排列不同的元素是相同的组合。多除以了m!相当与把这个
中的重复组合的序列去掉只留下一个得到
。
理理思路：组合数其实是排列数的一个变式，所以我不解释了（算了还是说一下这表明了n个数中选取m个数的不同排列的数量），除以m！后相当与把其中拥有相同元素的排列
放进了回收站去掉只留下一个。
所以，=
就表示从n个不同元素中取出m个元素(m<=n)个元素的所有不同组合的个数。
补充一下：
我们可以这样理解排列数：在我们求出组合数C时，好比求处了有m个数的组合的一个组合，在将组合数C*m！，相当于将这m个数排列一下。
总结一下：
组合数学的内涵很深，我在这里仅仅普及了一下这玩意而已。后续几天，我会专门抽时间分析此类问题。