AtCoder题解 —— KEYENCE Programming Contest 2021 —— A - Two Sequences 2 —— 数论

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KEYENCE Programming Contest 2021 A 题，https://atcoder.jp/contests/keyence2021/tasks/keyence2021_a。

Problem Statement

Snuke has two number sequences $a$ and $b$, each of length $N$. The $i$-th number of $a$ is $a_i$, and that of $b$ is $b_i$.
Using these sequences, he has decided to make a new sequence $c$ of length $N$. For each $n$ such that $1\le n\le N$, $c_n$, the $n$-th number of $c$, is the maximum value of $a_i{b}_j$ for a pair $(i,j)$ such that $1\le i\le j\le n$. Formally, we have $c_n=ma{x}_{1\le i\le j\le n}{a}_i{b}_j$.
Find $c_1,c_2,\dots ,c_N$.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
a1 a2 ... aN
b1 b2 ... bN

Print

Print $N$ lines. The $n$-th line from the top should contain $c_n$.

Sample 1

Sample Input 1

3
3 2 20
1 4 1

Sample Output 1

3
12
20

Explaination

We have:
$c_1=max(a_1{b}_1)=3$;
$c2=max(a_1{b}_1,a_1{b}_2,a_2{b}_2)=12$;
$c3=max(a_1{b}_1,a_1{b}_2,a_1{b}_3,a_2{b}_2,a_2{b}_3,a_3{b}_3)=20$.

Sample 2

Sample Input 2

20
715806713 926832846 890153850 433619693 890169631 501757984 778692206 816865414 50442173 522507343 546693304 851035714 299040991 474850872 133255173 905287070 763360978 327459319 193289538 140803416
974365976 488724815 821047998 371238977 256373343 218153590 546189624 322430037 131351929 768434809 253508808 935670831 251537597 834352123 337485668 272645651 61421502 439773410 621070911 578006919

Sample Output 2

697457706539596888
697457706539596888
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
760974252688942308
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026
867210459214915026

Constraints

• All values in input are integers.
• $1\le N\le 2\times 10^5$
• $1\le a_i,b_i\le 10^9$

题解报告

题目翻译

Snuke 有两个数列 $a$ 和 $b$，它们的长度都是 $N$。数列 $a$ 的第 $i$ 个数据为 $a_i$，数列 $b$ 的第 $i$ 个数据为 $b_i$。
现在从这两个数列中构造一个新数列 $c$，数列 $c$ 的长度也为 $N$，该数列的第 $n$ 个数为 $c_n=ma{x}_{1\le i\le j\le n}{a}_i{b}_j$.

题目分析

本题是一个数学题。
如果我们直接使用循环来遍历公式 $c_n=ma{x}_{1\le i\le j\le n}{a}_i{b}_j$，这样我们将是一个双重循环。代码如下：

for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
	for (int j=i; j<=n; j++) {
    
    
		//计算cn
	}
}

上面的公式，我们可以知道算法的时间复杂度为 $O(N^2)$。再看本题 $N$ 的范围是 $2\times 10^5$，因此这样的代码必然是一个 TLE。我们需要对递推公式进行优化。
我们根据 $c_n$ 的公式，可以写出 $c_n$ 与 $c_{n-1}$ 的关系。
$$\begin{gathered} c_{n-1}=ma{x}_{1\le i\le j\le n-1}{a}_i{b}_j=max( \\ {a}_1{b}_1,...,a_1{b}_{n-1}, \\ {a}_2{b}_2,...,a_2{b}_{n-1}, \\ ..., \\ {a}_{n-1}{b}_{n-1}) \\ {c}_n=ma{x}_{1\le i\le j\le n}{a}_i{b}_j=max( \\ {a}_1{b}_1,...,a_1{b}_{n-1},a_1{b}_n, \\ {a}_2{b}_2,...,a_2{b}_{n-1},a_2{b}_n, \\ ..., \\ {a}_{n-1}{b}_{n-1},a_{n-1}{b}_n, \\ {a}_n{b}_n) \\ \Rightarrow c_n=max(c_{n-1},a_1{b}_n,a_2{b}_n,...,a_n{b}_n) \\ =max(c_{n-1},max(a_1,a_2,...,a_n)b_n) \end{gathered}$$
这样优化后，时间复杂度就变为 $O(N)$，对于 $2\times 10^5$ 的数据来说，这个时间复杂度是足够的。

数据范围估计

由于我们需要计算 $a_i\times b_i$，而本题的 $a_i$ 和 $b_i$ 的最大数据为 $10^9$，因此 $a_i\times b_i$ 的最大值为 $10^9\times 10^9=10^{18}$，我们需要用 long long 来表示。

AC 代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN=2e5+4;
ll a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN];

int main() {
    
    
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
		scanf("%lld", &a[i]);
	}
	for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
		scanf("%lld", &b[i]);
	}

	//构造c
	ll maxx=a[1];
	c[1]=a[1]*b[1];
	for (int i=2; i<=n; i++) {
    
    
		maxx = max(maxx, a[i]);
		c[i] = max(c[i-1], maxx*b[i]);
	}

	//输出
	for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
		printf("%lld\n", c[i]);
	}

	return 0;
}

时间复杂度

$O(N)$。

空间复杂度

$O(N)$。