三、三维变换
三维旋转变换：
上图为三维物体围绕x轴，y轴，z轴旋转的公式。当围绕x轴旋转时，对于任意一个点，x轴都不变，对于y，z也是这样。注意绕y轴旋转的公式有一点奇怪，似乎是反着的。原因是因为绕y旋转时是从z到x，而绕x和绕z分别是从y到z和x到y。
欧拉角（Euler angles）：
为了方便理解三维旋转，将三维旋转看作是绕x轴，y轴，z轴旋转组合的结果。
罗德里格旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula）：
罗德里格旋转公式能够表述任意的旋转，方法也就是将旋转分解为x，y，z三轴上分别做旋转得到的。
四、视图/摄像机变换（View/Camera Transformation）
视图变换：
三维物体要显示出来要变换到二维屏幕。视图变换就是二维视图/摄像机的变换。要理解什么是视图变换可以思考一下现实中我们是如何拍照的：
首先我们选好位置再安排好拍照对象（模型变换model transformation），再将摄像机摆放到一个好的角度（视图变换view transformation），最后才是按下快门键（投影变换projection transformation）
视图变换的执行：
1.要执行视图变换，首先要定义摄像机的位置，摄像机看的方向，以及摄像机的向上方向。
2.如果相机和所有的物体一起移动，得到的图像是不变的，所以我们永远会把摄像机变换到坐标原点，并且永远往-z方向看，以y轴为向上方向，其他所有物体也跟随着相机一起发生变换。将相机放在这个所谓“标准位置”可以简化操作。
3.对于摄像机e，为了执行上述操作，需要对摄像机进行Mview变换，Mview变换需要我们先将摄像机平移到原点，再将g旋转到-Z，将t旋转到Y，将（g X t）旋转到X。
4.将摄像机按Tview矩阵变换，平移到原点。
5.对于旋转来说，将g旋转到-Z，似乎不是很好写出来，但是将-Z旋转到g似乎就很好写出来。也就是说，我们想要的变换不是很好求，但是他的逆变换很好求，我们就可以先将他的逆变换写出来。接下来对他的逆矩阵再求逆就行了。
6.由于其他物体的模型变换要和摄像机的视图变换一起做一样的变换，所以上述过程也称为模型视图变换（ModelView Transformation）。
五、投影变换（Projection Transformation）
投影变换：
在计算机图形学中，投影是指从3D到2D的过程，分为透视投影（Perspective Projection），正交（正射）投影（Orthographic Projection）。
透视投影和正交投影：
对于透视投影，我们认为摄像机是一个点，视线是一个四棱锥，透视投影更接近人眼的观察效果，有近大远小的特点。对于正射投影，我们假设摄像机放在无限远，那么物体的远近不再影响物体的大小。
正交投影的简单理解方式：
摄像机在原点，看向-Z方向，舍弃掉z轴信息，再将得到的只有x，y轴信息的结果图移动到一个-1到1的矩形上（这样做可以方便之后的计算），得到就是正交投影。
正交投影的正式操作方式：
1.首先定义一个空间中的立方体，我们要确定他的左右在X轴上是多少，上下在Y轴上是多少，远近在Z轴上是多少，将它映射到标准立方体([-1,1]^3)，也就是将他的中心放在原点，将x，y，z轴分别拉扯到-1到1。公式如上。这样所有的物体都会被拉升到一个标准立方体中。
注意：由于我们是看向-Z的，所以近其实大于远（n>f）。这就是为什么OpenGL的API要选用左手坐标系。
2.做完以上，还会进行一个叫做视口变换的事情，再进行一次拉伸。这里暂时未谈到。
透视投影：
透视投影是使用的最广泛的投影方式，满足近大远小，视觉效果上平行线不再平行，而是会汇聚到一点。
齐次坐标的一个性质：
(x,y,z,1)，(kx,ky,kz,k != 0)，(xz,yz,z^2,z != 0)全都表示三维空间中的同一个点(x,y,z)。这是一个简单但有用的性质。
透视投影的操作方式：
1.将空间中的一个截头锥体“挤压”成一个长方体（这样做了以后，近平面还是那么大，远平面变小了）。
2.做正交投影。
将截头锥体“挤压”成长方体的操作方式：
1.首先找到变换后（要达到）的点(x’,y’,z’)和原来的点(x,y,z)之间的关系。就x和y而言，很明显是相似三角形，n/z的关系。
2.写出齐次坐标式，此时我们还不知道z轴的变换关系。
3.由于我们并不知道z轴的变换，所以对齐次坐标进行一些变换可以得到变换矩阵M(persp->ortho)的一部分。
4.通过观察可以发现，不管远近屏幕，z轴都没有发生变化。
5.对于在近点的情况，由于n/z为1，z=n，所以将z替换为n，能直接得到近点变换之后的结果，由此推测出结果的第三行为n^2，矩阵的第三行形式为0 0 A B，A B不能确定，但是An+B=n ^2。
6.对于远点(0,0,f)（截头锥体远平面中点）同样在发生变换后保持不变。也就能得到式子Af + B = f^2。
7.通过两个式子解出A和B，矩阵完成了。
课程的最后
中间的Z点在挤压以后怎么变？