单调队列优化DP
题目
烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。
一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。
在某两个城市之间有 n 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。
为了使情报准确传递，在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。
现在输入 n,m 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。
输入格式
第一行是两个整数 n,m，具体含义见题目描述；
第二行 n 个整数表示每个烽火台的代价 ai。
输出格式
输出仅一个整数，表示最小代价。
数据范围
1≤n,m≤2×105,
0≤ai≤1000
输入样例：
5 3
1 2 5 6 2
输出样例：
4
思路
分析图示：
状态表示： f[i]表示前1~i座烽火台满足条件，且第i座烽火台点燃的方案集合。
属性： 所有符合条件的方案集合中的最小代价值。
状态计算：
如何划分集合？
题目要求在连续 m个烽火台中至少要有一个发出信号，即连续的m个烽火台中至少要有一个被点燃。而f[i]表示的含义中，第i座已经被点燃，因此在第i座向前的前m座烽火台至少要有一个被点燃。被点燃的可以是第 i-m, 第 i-m+1，，，,第i-3,第i-2,第i -1座。
故状态计算方程： f [ i] = min( f[j] ) + w[i] (i-m<=j<=i-1)
一段区间的最值可以用单调队列求解。此题中，我们定义一个单调递增队列，队列中维护的是f[j]集合。每次拿出队头元素，即长为m的区间中值最小的f[j]来更新答案。
其实有个小疑问，为什么状态表示时，要将第i座表示为点燃？
我们可以从问题出发，每n座烽火台中必然要有一座要被点燃。那么最后n座烽火台同样也是如此。如果我们将f[i]定义为前1~i座烽火台满足条件，且第i座烽火台点燃的方案集合。那么答案一定在 f[n-m+1],f[n-m+2],,,,,,f[n]之间。也就是说将第i座表示为点燃可以很容易表示出答案。这就给我们一个启发，我们在定义状态表示时，一定要考虑我们定义的状态是否可以包含答案 。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int w[N];
int f[N];
int q[N];
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
f[0]=0; //0座的代价为0
int tt=0,hh=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(q[hh]<i-m) hh++; //超出滑动窗口，踢出队列
f[i]=f[q[hh]]+w[i]; //更新答案
while(hh<=tt&&f[q[tt]]>=f[i]) tt--;//维护单调递增队列 在一段区间内
//找出最小的f[j](i-m<=j<=i-1)
q[++tt]=i;
}
int res=1e9;
for(int i=n-m+1;i<=n;i++) res=min(res,f[i]); //答案在最后一段区间选
printf("%d\n",res);
return 0;
}