Java数据结构与算法-图(图深度优先、广度优先dfs-bfs,图创建、实现)[day12]

其他 2021-01-22 13:00:54 阅读次数: 0

图

文章目录

图的基本介绍和存储形式

图基本介绍：

为什么要有图?

前面我们学了线性表和树,线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系,树也只能有一个直接前驱也就是父节点。当我们需要表示多对多的关系时,这里我们就用到了图。

  • 图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
  • 图的常用概念：
    1.顶点(vertex)
    2.边(edge)
    在这里插入图片描述
    3.路径：比如从 D -> C 的路径有D->B->C、D->A->B->C.
    4.无向图(上图)：顶点之间的连接没有方向，比如A-B,即可以是 A-> B 也可以 B->A .
    5.有向图：顶点之间的连接有方向，比如A-B，只能是 A-> B 不能是 B->A .
    在这里插入图片描述
    6.带权图：这种边带权值的图也叫网.
    在这里插入图片描述

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵:

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
在这里插入图片描述

邻接表:

1.邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2.邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
在这里插入图片描述
说明:
1.标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
2.标号为1的结点的相关联结点为0 4，
3.标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
4…

图的创建图解和代码实现

在这里插入图片描述

构建此图思路分析:
(1) 存储顶点String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges

代码实现：

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的个数

    public static void main(String[] args) {
    
    
        //测试图创建是否成功
        int n = 5; //结点个数
        String Vertexs[] = {
    
    "A","B","C","D","E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String Vertex : Vertexs){
    
    
            graph.insertVertex(Vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        //显示邻结矩阵
        graph.showGraph();

    }

    //构造器 对属性初始化
    public Graph(int n) {
    
    //传入顶点的个数
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
    
    
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph(){
    
    
        for (int[] link : edges){
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
    
    
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
    
    
        return edges[v1][v2];
    }


    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示矩阵里用什么来表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    
    
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }

}

图的深度优先(DFS)算法图解与实现

图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:
(1) 深度优先遍历
(2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

1.深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，
深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，
然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点,
可以这样理解:每次访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
 
 2.我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，
 而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
 
 3.显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

深度优先遍历算法步骤:

1.访问初始结点v，并标记结点v为已访问。

2.查找结点v的第一个邻接结点w。

3.若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。

4.若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。

5.若w被访问，查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析:

要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历。

在这里插入图片描述

      A   B   C   D   E 
 A    0   1   1   0   0 
 B    1   0   1   1   1
 C    1   1   0   0   0 
 D    0   1   0   0   0  
 E    0   1   0   0   0

说明
(1) 1 表示能够直接连接
(2) 0 表示不能直接连接>

结果：a->b->c->d->e

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的个数
    //定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;


    public static void main(String[] args) {
    
    
        //测试图创建是否成功
        int n = 5; //结点个数
        String Vertexs[] = {
    
    "A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String Vertex : Vertexs) {
    
    
            graph.insertVertex(Vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        //显示邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试深度dfs遍历
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();//A->B->C->D->E
    }

    //构造器 对属性初始化
    public Graph(int n) {
    
    //传入顶点的个数
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
        isVisited = new boolean[n];
    }

    //得到第一个邻接结点的下标 w

    /**
     * @param index 传入的下标
     * @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
    
    
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[index][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次是0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    
    
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将该结点设置为已经访问过
        isVisited[i] = true;
        //这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
    
    //说明有邻接结点
            if (!isVisited[w]) {
    
    
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点存在,且已经被访问过
           w =  getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
    public void dfs() {
    
    
        //遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]) {
    
    
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }
    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
    
    
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[v1][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
    
    
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
    
    
        for (int[] link : edges) {
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
    
    
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
    
    
        return edges[v1][v2];
    }


    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示矩阵里用什么来表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    
    
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

图的广度优先(BFS)算法图解

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

  • 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤:

1.访问初始结点v并标记结点v为已访问。
2.结点v入队列
3.当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4.出队列，取得队头结点u。
5.查找结点u的第一个邻接结点w。
6.若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：

  • 6.1. 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
    6.2 结点w入队列
    6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到6.

在这里插入图片描述

      A   B   C   D   E 
 A    0   1   1   0   0 
 B    1   0   1   1   1 
 C    1   1   0   0   0
 D    0   1   0   0   0  
 E    0   1   0   0   0

说明
(1) 1 表示能够直接连接
(2) 0 表示不能直接连接

代码实现:

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的个数
    //定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;


    public static void main(String[] args) {
    
    
        //测试图创建是否成功
        int n = 5; //结点个数
        String Vertexs[] = {
    
    "A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String Vertex : Vertexs) {
    
    
            graph.insertVertex(Vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        //显示邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试深度dfs遍历
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();//A->B->C->D->E
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs();//A->B->C->D->E
    }

    //构造器 对属性初始化
    public Graph(int n) {
    
    //传入顶点的个数
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;

    }

    //得到第一个邻接结点的下标 w

    /**
     * @param index 传入的下标
     * @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
    
    
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[index][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次是0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    
    
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将该结点设置为已经访问过
        isVisited[i] = true;
        //这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
    
    //说明有邻接结点
            if (!isVisited[w]) {
    
    
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点存在,且已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
    public void dfs() {
    
    
        isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
        //遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]) {
    
    
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
    
    
        int u;//表示队列的头节点对应的下标
        int w;//邻接结点w
        //队列,记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点,输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while ( !queue.isEmpty()) {
    
    
            //取出队列的头节点下标
            u = (Integer) queue.removeLast();//自动拆箱
            //得到第一个邻接点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1){
    
    //找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]){
    
    
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //如果访问过,以u为前驱,找w后面的下一个邻接点
                w = getNextNeighbor(u, w);//以u这行,w的下一个结点
                //体现出我们的广度优先!!
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
    
    
        isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]){
    
    
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }


    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
    
    
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[v1][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
    
    
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
    
    
        for (int[] link : edges) {
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
    
    
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
    
    
        return edges[v1][v2];
    }


    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示矩阵里用什么来表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    
    
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

图的DFS和BFS比较

在这里插入图片描述


graph.insertEdge(0, 1, 1); 
graph.insertEdge(0, 2, 1); 
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1); 
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1); 
graph.insertEdge(2, 5, 1);  
graph.insertEdge(2, 6, 1);  
graph.insertEdge(5, 6, 1);  

深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7 
广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

代码实现:

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图的对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的个数
    //定义数组boolean[],记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;


    public static void main(String[] args) {
    
    
        //测试图创建是否成功
        int n = 8; //结点个数
        //String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        String Vertexs[] = {
    
    "1", "2", "3", "4", "5","6","7","8"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String Vertex : Vertexs) {
    
    
            graph.insertVertex(Vertex);
        }

        //添加边
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        /*graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);*/

        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);


        //显示邻结矩阵
        graph.showGraph();

        //测试深度dfs遍历
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs();//A->B->C->D->E
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs();//A->B->C->D->E
    }

    //构造器 对属性初始化
    public Graph(int n) {
    
    //传入顶点的个数
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;

    }

    //得到第一个邻接结点的下标 w

    /**
     * @param index 传入的下标
     * @return 如果存在, 就返回对应的下标, 否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
    
    
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[index][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次是0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    
    
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将该结点设置为已经访问过
        isVisited[i] = true;
        //这句话就是:查找结点i的第一个邻接结点w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {
    
    //说明有邻接结点
            if (!isVisited[w]) {
    
    
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果w结点存在,且已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对dfs,进行一个重载,遍历所有的结点,并进行dfs
    public void dfs() {
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点,进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]) {
    
    
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
    
    
        int u;//表示队列的头节点对应的下标
        int w;//邻接结点w
        //队列,记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点,输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);

        while ( !queue.isEmpty()) {
    
    
            //取出队列的头节点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();//自动拆箱
            //得到第一个邻接点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1){
    
    //找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]){
    
    
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //如果访问过,以u为前驱,找w后面的下一个邻接点
                w = getNextNeighbor(u, w);//以u这行,w的下一个结点
                //体现出我们的广度优先!!
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点,都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
    
    
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]){
    
    
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }


    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
    
    
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
    
    
            if (edges[v1][j] > 0) {
    
    
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
    
    
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
    
    
        for (int[] link : edges) {
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
    
    
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点i(下标)对应的下标0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
    
    
        return edges[v1][v2];
    }


    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即是第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示矩阵里用什么来表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
    
    
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

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