数据结构：图的遍历--深度优先、广度优先

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                       图的遍历：深度优先、广度优先

遍历

    图的遍历是指从图中的某一顶点出发，按照一定的策略访问图中的每一个顶点。当然，每个顶点有且只能被访问一次。

    在图的遍历中，深度优先和广度优先是最常使用的两种遍历方式。这两种遍历方式对无向图和有向图都是适用的，并且都是从指定的顶点开始遍历的。先看下两种遍历方式的遍历规则：

深度优先

    深度优先遍历也叫深度优先搜索(Depth First Search)。它的遍历规则：不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。

    具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，则下一个遍历的顶点是V0的第一个邻接点Vi，接着遍历Vi的第一个邻接点Vj，……直到所有的顶点都被访问过。

    所谓的第一个是指在某种存储结构中(邻接矩阵、邻接表)，所有邻接点中存储位置最近的，通常指的是下标最小的。在遍历的过程中有两种情况经常出现

1. 某个顶点的邻接点都已被访问过的情况，此时需回溯已访问过的顶点。
2. 图不连通，所有的已访问过的顶点都已回溯完了，仍找不出未被访问的顶点。此时需从下标0开始检测visited[i]，找到未被访问的顶点i，从i开始新一轮的深度搜索。

看一个例子

从V 0 开始遍历

    遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，选择下标最小的V1遍历。接着从V1开始深度遍历，V1只有邻接点V3，也就是没有选的：遍历V3。接着从V3开始遍历，V3只有邻接点V0，而V0已经被遍历过。此时出现了上面提到的情况一，开始回溯V1，V1无未被遍历的邻接点，接着回溯V0，V0有一个未被遍历的邻接点V2，新的一轮深度遍历从V2开始。V2无邻接点，且无法回溯。此时出现了情况二，检测visited[i]，只有V4了。深度遍历完成。看到回溯，应该可以想到需要使用栈。

遍历序列是

V0->V1->V3->V2->V4。

从其它顶点出发的深度优先遍历序列是：

V1->V3->V0->V2->V4。

V2->V0->V1->V3->V4。

V3->V0->V1->V2->V4。

V4->V2->V0->V1->V3。

以上结果，我们稍后用于测试程序。

结合在图的实现：邻接矩阵中的代码，我们看下在邻接矩阵形式下的图的深度遍历算法：

深度优先代码

/*
深度优先搜索
从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针
*/
void Graph::dfs(int vertex, void (*visit)(int))
{
	stack<int> s;
	//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过
	bool *visited = new bool[numV];
	//count用于统计已遍历过的顶点数
	int i, count;
	for (i = 0; i < numV; i++)
		visited[i] = false;
	count = 0;
	while (count < numV)
	{
		visit(vertex);
		visited[vertex] = true;
		s.push(vertex);
		count++;
		if (count == numV)
			break;
		while (visited[vertex])
		{
			for (i = 0; i < numV
				&& (visited[i] 
				|| matrix[vertex][i] == 0 || matrix[vertex][i] == MAXWEIGHT); i++);
			if (i == numV)  //当前顶点vertex的所有邻接点都已访问完了
			{
				if (!s.empty())
				{
					s.pop();   //此时vertex正是栈顶，应先出栈
					if (!s.empty())
					{
						vertex = s.top();
						s.pop();
					}
					else  //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点
					{
						for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
					}
				}
				else  //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点
				{
					for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
				}
			}
			else  //找到新的顶点应更新当前访问的顶点vertex
				vertex = i;
		}
	}
	delete[]visited;
}

其它代码前面已经见过，就不给出了，下面看下图的广度遍历。深度遍历和广度遍历的测试，稍后一并给出。

广度优先

    广度优先遍历也叫广度优先搜索(Breadth First Search)。它的遍历规则：

1. 先访问完当前顶点的所有邻接点。(应该看得出广度的意思)
2. 先访问顶点的邻接点先于后访问顶点的邻接点被访问。

    具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，且顶点V0的邻接点下表从小到大有Vi、Vj...Vk。按规则1，接着应遍历Vi、Vj和Vk。再按规则2，接下来应遍历Vi的所有邻接点，之后是Vj的所有邻接点，...，最后是Vk的所有邻接点。接下来就是递归的过程...

在广度遍历的过程中，会出现图不连通的情况，此时也需按上述情况二来进行：测试visited[i]...。 在上述过程中，可以看出需要用到队列。

举个例子，还是同样一幅图：

从V 0 开始遍历

    遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，于是按序遍历V1、V2。V1先于V2被访问，于是V1的邻接点应先于V2的邻接点被访问，那就是接着访问V3。V2无邻接点，只能看V3的邻接点了，而V0已被访问过了。此时需检测visited[i]，只有V4了。广度遍历完毕。
遍历序列是

V0->V1->V2->V3->V4。

从其它顶点出发的广度优先遍历序列是

V1->V3->V0->V 2 -> V 4 。

V2->V0->V1->V3->V4。

V3->V0->V1->V2->V4。

V4->V2->V0->V1->V3。

以上结果，我们同样用于测试程序。

在邻接矩阵下，图的广度遍历算法

广度优先代码

/*
广度优先搜索
从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针
*/
void Graph::bfs(int vertex, void(*visit)(int))
{
	//使用队列
	queue<int> q;
	//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过
	bool *visited = new bool[numV];
	//count用于统计已遍历过的顶点数
	int i, count;
	for (i = 0; i < numV; i++)
		visited[i] = false;
	q.push(vertex);
	visit(vertex);
	visited[vertex] = true;
	count = 1;
	while (count < numV)
	{
		if (!q.empty())
		{
			vertex = q.front();
			q.pop();
		}
		else
		{
			for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
			visit(vertex);
			visited[vertex] = true;
			count++;
			if (count == numV)
				return;
			q.push(vertex);
		}
		//代码走到这里，vertex是已经访问过的顶点
		for (int i = 0; i < numV; i++)
		{
			if (!visited[i] && matrix[vertex][i] > 0 && matrix[vertex][i] < MAXWEIGHT)
			{
				visit(i);
				visited[i] = true;
				count ++;
				if (count == numV)
					return;
				q.push(i);
			}
		}
	}
	delete[]visited;
}

结合两种遍历的代码，我们对同一幅图进行测试，它的主函数是

void visit(int vertex)
{
	cout << setw(4) << vertex;
}
int main()
{
	cout << "******图的遍历：深度优先、广度优先***by David***" << endl;
	bool isDirected, isWeighted;
	int numV;
	cout << "建图" << endl;
	cout << "输入顶点数 ";
	cin >> numV;
	cout << "边是否带权值，0(不带) or 1(带) ";
	cin >> isWeighted;
	cout << "是否是有向图，0(无向) or 1(有向) ";
	cin >> isDirected;
	Graph graph(numV, isWeighted, isDirected);
	cout << "这是一个";
	isDirected ? cout << "有向、" : cout << "无向、";
	isWeighted ? cout << "有权图" << endl : cout << "无权图" << endl;
	graph.createGraph();
	cout << "打印邻接矩阵" << endl;
	graph.printAdjacentMatrix();
	cout << endl;
	cout << "深度遍历" << endl;
	for (int i = 0; i < numV; i++)
	{
		graph.dfs(i, visit);
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
	cout << "广度遍历" << endl;
	for (int i = 0; i < numV; i++)
	{
		graph.bfs(i, visit);
		cout << endl;
	}
	system("pause");
	return 0;
}

运行

仔细对照测试结果，我们的代码是没有问题的。

完整代码下载：图的遍历：深度优先、广度优先

小结

对于某个图来说，深度优先遍历和广度优先遍历的序列不是唯一的，但当图的存储结构一确定，它的遍历序列就是唯一的。因为当有多个候选点时，我们总是优先选择下标最小的。

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