- 顶点u到顶点v是可达的，意味着：有一条从顶点v到顶点u的路径
- 这种搜索有两种常用的方法：
- 广度优先搜索（breadth first search，BFS）
- 深度优先搜索（depth first search，DFS）
- 要获得效率更高的图的算法，深度优先搜索方法使用得更多
一、广度优先搜索（BFS）
- 假设有下面的有向图，现在要搜索从顶点1可到达的所有顶点，广度优先搜索的方法如下：
- 先确定邻接于顶点1的顶点集合，这个集合是{2，3，4}
- 然后确定邻接于{2，3，4}的新的（即还没有到达过的）顶点集合为{5，6，7}
- 然后确定邻接于{5，6，7}的新的顶点集合为{8，9}
- 最终，从顶点1开始搜索，可以达到的顶点集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}
伪代码
- 这种搜索方法可以使用队列实现，图的BFS和二叉树的层次遍历是相似的
- 如果将该伪代码应用于上面的有向图，则步骤为：
- 伪代码中的v=1，在外层while循环的第一次迭代中，顶点2，3，4被一次加入到队列中
- 第二次迭代中，从队列中删除顶点2，加入顶点5
- 然后从队列中删除顶点3，但是没有加入新顶点；从队列中删除顶点4，加入顶点6和7
- 从队列中删除顶点5，加入顶点8；从队列中删除顶点6，但是没有加入新的顶点；从队列中删除顶点7，加入顶点9
- 最后从队列中删除8和9，队列为空，过程终止
- 下图是遍历所经过的边：
广度优先搜索的代码实现
- 我们使BFS方法成为超类graph的成员，使用graph的迭代器来实现邻接顶点的搜索，这样可以使我们不必为每一个图的实现单独地编写BFS代码
- 独立实现的BFS代码与上面的伪代码联系非常紧密。代码在初始时，对于搜索顶点都有reach[i]=0并且lable!=0.在算法终止时，所有可到达顶点都把对应的reach[i]设置为label
//reach[i]用来标记从顶点v可到达的所有顶点
virtual void bfs(int v, int reach[], int label)
{
arrayQueue<int> q(10);
reach[v] = label;
q.push(v);
while (!q.empty())
{
//从队列中删除一个标记过的顶点
int w = q.front();
q.pop();
//标记所有没有到达的邻接于顶点w的顶点
vertexIterator<T> *iw = iterator(w);
int u;
while ((u = iw->next()) != 0) {
//访问顶点w的一个相邻顶点
if (reach[u] == 0){
//u是一个没有到达的顶点
q.push(u);
reach[u] = label;
}
delete iw;
}
}
}
复杂性分析
- 上面我们是在超类graph中定制BFS代码，其派生类直接调用即可，现在我们来对派生类指定定制BFS的代码：一个是adjacencyWDigraph的成员、一个是linkedWDigraph的成员、一个是linkedDigraph的成员，其余的方法从超类中继承这些定制的代码
- 下面给出了adjacencyWDigraph的定制代码：
//reach[i]用来标记从顶点v可到达的所有顶点
void bfs(int v, int reach[], int label)
{
arrayQueue<int> q(10);
reach[v] = label;
q.push(v);
while (!q.empty())
{
//从队列中删除一个标记过的顶点
int w = q.front();
q.pop();
//标记所有没有到达的邻接于顶点w的顶点
for (int u = 1; u <= n; u++) {
//访问顶点w的一个关联的顶点
if ((a[w][u] != noEdge)&&(reach[u] == 0)) {
//u是一个没有到达的顶点
q.push(u);
reach[u] = label;
}
}
}
}
//reach[i]用来标记从顶点v可到达的所有顶点
void bfs(int v, int reach[], int label)
{
arrayQueue<int> q(10);
reach[v] = label;
q.push(v);
while (!q.empty())
{
//从队列中删除一个标记过的顶点
int w = q.front();
q.pop();
//标记所有没有到达的邻接于顶点w的顶点
for (chainNode<int>* u = aList[w].firstNode; u != NULL;u=u->next) {
//访问顶点w的一个关联的顶点
if (reach[u->element]==0) {
//u是一个没有到达的顶点
q.push(u->element);
reach[u->element] = label;
}
}
}
}
- 在1.7GHz的奔腾4 PC上，对100个顶点的无权完全无向图：
- 用邻接矩阵描述时：graph::mfs用时0.18毫秒。adjacencyWDigraph::mfs用时0.06毫秒。在时间性能上，统一实现的代码graph::bfs是定制代码的3倍
- 用邻接链表描述时：独立的统一代码的执行时间为1.0毫秒，定制的代码是0.9毫秒，前者比后者多了11%
- 总结：使用独立BFS代码，而不是定制的代码，是有性能损失的
- 在邻接矩阵描述中，这种损失会很大，主要是因为使用迭代器
- 然而要记住，使用独立的代码有若干优点。例如，一份代码即可满足所有的图类描述，而定制diamante需要若干个。因此，如果我们引进新的秒数方法（例如邻接数组表），就可以不加修改地使用独立的代码。当我们要开发一个新的图应用程序，我们可以首先开发独立的代码。这个方法使所有应用实现使用这个代码。然后，如果时间和资源允许，我们就可以定制更有效率的代码
二、深度优先搜索（DFS）
- 在前面介绍老鼠迷宫问题中我们已经使用了这种方法，而且它与二叉树的前序遍历很相似
原理与伪代码
- 从一个顶点v出发，DFS按如下过程进行：
- 首先将v标记为已到达的顶点，然后选择一个邻接于v的尚未到达的顶点u
- 如果这样的u不存在，则搜索终止；如果这样的u存在，那么从u又开始一个新的DFS
- 当这种搜索结束时，再选择另外一个邻接于v的尚未到达的顶点。如果这样的顶点不存在，那么搜索终止。如果这样的顶点存在，又从这个顶点开始进行DFS
- 如此继续下去....
原理图解
- 假设v=1，那么顶点2、3、4成为u的候选：
- 假设选择顶点2，从顶点2开始DFS：
- 将顶点2标记为已到达顶点，这时只有顶点5，然后从顶点5开始DFS
- 将顶点5为已到达顶点，这时只有顶点8，从顶点8开始DFS
- 将顶点8为已到达顶点，由于从顶点8开始没有不可到达的邻接顶点，因此返回到顶点5，顶点5也没有新的可到达的邻接顶点，因此在此返回到顶点2，顶点2也没有新的可到达的邻接顶点，再次返回到顶点1
- 现在还剩两个候选顶点3和4，假设从顶点4开始DFS：
- 将顶点4标记为已到达顶点，现在顶点3、6、7都成为候选顶点
- 假设选中顶点6，这时顶点3是唯一的候选，从顶点3开始DFS
- 将顶点3标记为已到达顶点，因为没有邻接于3的顶点，所以返回到顶点6；因为没有邻接于6的新顶点，所以返回到顶点4，这时顶点7成为新的候选，然后从顶点7开始DFS
- 将顶点7标记为已到达顶点，然后达到顶点9，而没有邻接于9的顶点，这一次我们最终返回到顶点1
- 现在没有邻接于1的新顶点了，算法终止
编码实现
- 下面是是公有方法graph::dfs以及保护方法graph::rDfs的代码。它假设graph<T>::reach和graph<T>::label是类graph的静态数据成员。在实现DFS中，令u遍历所有邻接于v的顶点比仅仅遍历不邻接于v的顶点，其代码更容易：
//reach[i]用来标记从顶点v可到达的所有顶点
void dfs(int v, int reach[], int label)
{
graph<T>::reach = reach;
graph<T>::label = label;
rDfs(v);
}
//深度优先搜索递归方法
void rDfs(int v)
{
reach[v] = label;
vertexIterator<T> *iv = iterator(v);
int u;
while ((u->iv->next()) != 0) {
//访问与v相邻的顶点
if (reach[u] == 0)
rDfs(u); //u是一个没有到达的顶点
}
delete iv;
}
复杂性分析
- 可以验证dsf和bfs有相同的时间和空间复杂性。不过使dfs占用空间最大（递归栈空间）的实例确实使bfs占用空间最小（队列空间）的实例，而使bfs占用空间最大的实例确实使dfs占用空间最小的实例
- 下图给出了dfs和bfs的性能在最好和最坏情况下的实例
