囚犯 动态规划

囚犯

题目描述

阴差阳错，小Q穿越到了明朝成为了一名狱卒头头。恰逢皇帝大寿，准备大赦天下。当然，大赦不是全赦，不然社会就全乱了。小Q所在的监狱有P个牢，这些牢房一字排开，第i个紧挨着第i+1个（最后一个除外）。相邻牢房的囚犯可以交流，现在正好牢房是满的。

现在小Q拿到了释放名单，并被要求每天释放一人。但问题是现在牢房中的P个人，可以相互之间传话。如果某个人离开了，那么原来和这个人能说上话的人，都会很气愤，那么小Q就得去一个个安抚那些气愤的人。

输入输出格式

输入格式：

第一行，两个数P和Q，Q表示释放名单上的人数；
第二行，Q 个数，表示要释放哪些人。

输出格式：

仅一行，表示最少要安抚多少人次（注意每释放一个人，小Q可能都得去安抚一次，所以某个人可能会被安抚多次）。

输入输出样例

输入样例：

20 3
3 6 14

输出样例：

35

数据规模：

对于100%的数据，$1\le P\le 1000$；$1\le Q\le 100$；$Q\le P$；
且50%的数据，$1\le P\le 100$；$1\le Q\le 5$。

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题目题解分界线

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题解

原题描述的不是特别的清楚，题目大意是：现在手上有一张可释放犯人的名单，求按怎样的顺序释放犯人才能使得安慰次数最少。

对于本题，我们可以采用动态规划去解决。

仔细观察题目，我们可以得知释放犯人的顺序是由我们决定的，而且如果以已释放犯人数作为一个阶段，会使得解法有后效性。

再仔细想想，如果释放掉一个犯人，与这个犯人相邻的2个人就会气愤，气愤情绪会一直传递下去，直至传气愤者要传递气愤给下一个犯人时，这个犯人已经被释放；或者传递到牢房的头或尾。

我们此时可以发现：需要安抚的人形成了两个区间。

由此我们可以在本题使用区间类型动态规划。

通过多次画图草稿，我们就能大概推出：

$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][p[k]-1]+f[p[k]+1][j]+(j-i))$

设$p[k]$为释放名单上第$k$个人，在$[i,j]$这个区间里面，释放第$p[k]$个犯人，所需的最少安抚次数就是这个犯人左边最少安抚次数$f[i][p[k]-1]$加上右边最少安抚次数最后加上当前释放这一步需要安抚的次数$(j-p[k])+(p[k]-i)$，化简后得$j-i$。

但是，如果在$[i,j]$这个区间里头，没有要释放的犯人，那么这个区间就不用安抚了，按照上述式子，这种情况却还要加$j-i$次安抚次数，这个式子就错了。

我们可以在枚举$k$的时候顺带一个标记，如果这个区间有要释放的犯人，标记设为true，没有为false，枚举完$k$后，标记为false，那么$f[i][j]=0$，表示这个区间不用安抚。

最后输出答案$f[1][P]$

代码：

/*
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][p[k]-1]+f[p[k]+1][j]+(j-i));
i : 表示区间起点
j : 表示区间终点
p[] : 可释放犯人名单
k : 名单上第k个犯人
f[i][p[k]-1] : 在i~p[k]-1这个区间的最佳释放方式
f[p[k]+1][j] : 在p[k]+1~j这个区间的最佳释放方式
释放p[k]这个犯人
需要安慰右边(j-p[k])个犯人和(p[k]-i)个犯人
总共(j-p[k])+(p[k]-i)个犯人，化简后的j-i个犯人 
*/
#include<iostream>
#define inf 99999999

using namespace std;
int n,m;
int p[105];
int f[1005][1005];
bool flag=0;

int main()
{
    
    
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>p[i];
	for(int len=2;len<=n;len++)//枚举区间长度 
	{
    
    
		for(int i=1;i<=n-len+1;i++)//枚举起点 
		{
    
    
			int j=i+len-1;//区间终点 
			f[i][j]=inf;
			flag=1;
			for(int k=1;k<=m;k++)//查看此区间内是否有可释放的犯人 
				if(p[k]>=i&&p[k]<=j)
				{
    
    //如果有可释放的犯人，那么求此区间最佳释放方式 
					f[i][j]=min(f[i][j],f[i][p[k]-1]+f[p[k]+1][j]+(j-i));
					flag=0;
				}
			if(flag)
				f[i][j]=0;//如果没有，那么这个区间不需要安慰 
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}