顾名思义，树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划，平时做的动态规划都是线性的或者是建立在图上的，线性的动态规划有二种方向即向前和向后，相应的线性的动态规划有二种方法即顺推与逆推，而树型动态规划是建立在树上的，所以也相应的有二个方向：
- 根—>叶：此类动态规划在实际的问题中运用较少；
- 叶—>根：即根的子节点传递有用的信息给根，完后根得出最优解的过程。
例：NOIP2003-加分二叉树
【问题描述】
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数，若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出：（1）tree的最高加分，（2）tree的前序遍历。
【输入格式】
第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。
【输出格式】
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
【输入样例】(binary.in)
5
5 7 1 2 10
【输出样例】(binary.out)
145
3 1 2 4 5
【问题分析】
本题考查二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。很显然本题适合用动态规划来解。如果用数组f[i,j]表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分，则动态方程可以表示如下：
f[i,j]=max {f[i,i]+f[i+1,j],f[k,k]+f[i,k–1]*f[k+1,j],f[j,j]+f[i,j-1]}
题目还需输出最大加分树的前序遍历序列，因此需在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点，用数组s[i,j]表示。
例：URAL1018-苹果二叉树
【问题描述】
有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分2叉（就是说没有只有1个儿子的结点），这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树：
2 5
\ /
3 4
\ /
1
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。
【输入格式】
第1行2个数，N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。N表示树的结点数，Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。每行3个整数，前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。每根树枝上的苹果不超过30000个。
【输出格式】
一个数，最多能留住的苹果的数量。
【样例输入】
5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20
【样例输出】
21
【问题分析】
因为题目一给出就是二叉的，所以很容易就可以写出方程：f[i,j]:=max{f[left[i],k-1]+f[right[i],j–k]}+a[i],0<k<=j
Function treedp(x,y:longint):longint;
VarI,j,k:longint;
Begin
J:=0;
For I:=0 to y do
begin
k:=treedp(b[x].left,I-1)+treedp(b[x].right,y-I)+a[x];
if k>j then j:=k;
end;
treedp:=j;
End;例：CTSC1997-选课
【问题描述】
在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？
【输入格式】
第一行有两个整数N,M用空格隔开(1<=N<=200,1<=M<=150)
接下来的N行,第i+1行包含两个整数ki和si, ki表示第i门课的直接先修课，si表示第i门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。
【输出格式】
只有一行，选M门课程的最大得分。
【输入样例】
7 4
2 2
0 1
0 4
2 1
7 1
7 6
2 2
【输出样例】
13
【问题分析】
这题比苹果树多了一个步骤就是把一棵普通树转化为二叉树。读入数据时把二叉树建好：第一个孩子作为父节点的左子树，其它孩子作为第一个孩子的右子树。F（x，y）：表示节点x取y门课得最高学分，则：
F（x，y）＝max（f（x.l,k-1）+x.v+f(x.r,y-k)）k=1,2,..y
f（x.l,k-1）+x.v(课程x的学分)：表示选了课程x，左孩子选k-1门课,共k门课；f (x.r,y-k)：表示右孩子只能选y-k门课。节点0表示根节点，1~n是n门可选课程的节点。
例：苹果多叉树
【问题描述】
有一棵苹果树，树枝有多分叉，这棵树共有N个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树：
2 6 5
\ | /
3 4
\/
1
现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。
【问题分析】
f[i,j]:=max{f[left[i],k-1]+f[right[i],j–k]+a[k],f[right[i],j]}，0<k<=j
例：URAL1039-没有上司的晚会
【问题描述】
有个公司要举行一场晚会。
为了能玩得开心，公司领导决定：如果邀请了某个人，那么一定不会邀请他的上司（上司的上司，上司的上司的上司……都可以邀请）。
每个参加晚会的人都能为晚会增添一些气氛，求一个邀请方案，使气氛值的和最大。
【输入格式】
第1行一个整数N（1<=N<=6000）表示公司的人数。
接下来N行，每行一个整数。第i行的数表示第i个人的气氛值x(-128<=x<=127)。
接下来每行两个整数L，K。表示第K个人是第L个人的上司。
输入以0 0结束。
【输出格式】
一个数，最大的气氛值和。
【问题分析】
这是树型动态规划的一种分类，每个结点都有二种状态既选与不选。f[i,1]表示邀请i的最大值，f[i,2]表示不邀请i的最大值，f[i,1]=sigma(f[i.sons,2])+a[i]，f[i,2]= sigma{max(f[i.sons,1], f[i.sons,2])}。
F[i,1]=max{f[left[i],0]+f[right[i],0],f[left[i],0]+f[right[i],1]}，F[I,0]=max{f[left[i],1]+f[right[i],0],f[left[i],0]+f[right[i],0]}