算术基本定理（LightOJ Aladdin and the Flying Carpet 1341）

算术基本定理：一个非质数，可以分解唯一有限个质数的乘积。

N=P1^r1 * P2^r2 *P3^r3*...*Pn^rn  （P1<P2<P3<...<PN & Pi 是质数 & ri>=0）

N的正因子个数为num=（a1+1）*(a2+1)........*(an+1)，即为每个质数的质数+1的乘积。

核心思想：

1. 对素数进行打表，将素数存在prime[]数组里。
2. 对n进行分质因数解。

核心代码:

素数打表：

const int maxn=1e6+10;
int  prime[maxn];
int vis[maxn],len=0;
void get_prime()
{
	memset(vis,0,sizeof vis);
	memset(prime,0,sizeof prime);
	for(int i=2;i<sqrt(maxn);i++)
		if(!vis[i])
			for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
				vis[j]=1;
	for(int i=2;i<=maxn;j+=i)
		prime[len++]=i;
}

分解质因数：

void fenjie(){
	for(int i=0;i<=len&&prime[i]<=sqrt(tmp);i++){
		int e[maxn];
		while(tmp%prime[i]==0)
		{
			e[i]++;
			tmp/=prime[i];
		}//e[i]中存放对应质数的质数，prime[i]存放质数 
	}
}

例题：LightOJ Aladdin and the Flying Carpet 1341

题意：阿拉丁有个长方形魔法毯子，a代表着毯子的面积，在固定面积情况下，毯子可以有很多形状，长宽的组合不同，规定边最小是b。

解题思路：这道题利用算法基本定理的应用，一个非质数的正因数等于每个质因数指数的+1的乘积（开头说过了）。因此，这道题的思路就是求解出质因数的指数，计算出n共有多少对正因子n，然后再减去1到b范围内的质因子个数，得出所求结果。

算出的质因子个数num要除二，因为是质因子是两两成对的。

AC代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long const maxn=1e6+13;
typedef long long ll;
ll a,b,tmp,num,k=0,len,e;
ll primes[maxn];
int vis[maxn];
void get_primes()//素数打表，得到n内所有素数 
{
	memset(primes,0,sizeof primes);
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=2;i<=sqrt(maxn);i++)
		if(!vis[i])
			for(int j=i*i;j<=maxn;j+=i)
				vis[j]=1;
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
		if(!vis[i])
			primes[len++]=i;
		
		
}
void fenjie()
{ //分解因子 
	for(int i=0;i<len&&primes[i]<=sqrt(tmp);i++)
	{   int e=0;
		while(tmp%primes[i]==0)
		{
			tmp/=primes[i];
			e++;
		}
		num*=(e+1);
	}
	if(tmp>1)//如果tmp为非0.则a还有一个素数质因子 
		num*=2;
}
int main(){
	int t;
	cin>>t;
     get_primes();
	while(t--)
	{
		cin>>a>>b;
			if(b>=sqrt(a))
			{	num=0;
				printf("Case %d: %d\n",++k,num);
				continue;
			}
		else 
		{	num=1;
			tmp=a;
			fenjie();
			num/=2;
			for(int i=1;i<b;i++)
			{               //减去b以内因数个数 
				if(a%i==0)
				num--;
			}
			printf("Case %d: %d\n",++k,num);
		}
	}
	return 0;
} 

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