数学期望
概念
若离散型随机变量 X X X的概率分布为:
X X X | x 1 x_1 x1 | x 2 x_2 x2 | . . . ... ... | x i x_i xi | . . . ... ... | x n x_n xn |
---|---|---|---|---|---|---|
P P P | p 1 p_1 p1 | p 2 p_2 p2 | . . . ... ... | p i p_i pi | . . . ... ... | p n p_n pn |
那么 E ( x ) = x 1 × p 1 + x 2 × p 2 + . . . + x n × p n E(x) = x_1 × p_1 + x_2 × p_2 + ... + x_n × p_n E(x)=x1×p1+x2×p2+...+xn×pn为随机变量 X X X的均值或称数学期望。
可见:
- 均值又称数学期望,用 E ( x ) E(x) E(x)表示。
- 数学期望表示:数据取值的平均水平。
例如:某位射手,射中环数的概率分布列为:
X | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|
P | 0.4 | 0.2 | 0.4 |
那么,该射手的射中环数的数学期望为 E ( x ) = 5 × 0.4 + 6 × 0.2 + 7 × 0.4 = 6 E(x) = 5 \times 0.4 + 6 \times\ 0.2 + 7 \times 0.4 = 6 E(x)=5×0.4+6× 0.2+7×0.4=6
例题
小猪猪喜欢射箭,已知小猪猪射中的概率为0.8,重复射击3次,每次结果相互独立,请问射中靶子的数学期望?
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
P | ( 0.2 ) 3 (0.2)^3 (0.2)3 | C 3 1 × ( 0.2 ) 2 × 0.8 C_3^1\times(0.2)^2\times0.8 C31×(0.2)2×0.8 | C 3 2 × 0.2 × ( 0.8 ) 2 C_3^2 \times0.2\times(0.8)^2 C32×0.2×(0.8)2 | C 3 3 × ( 0.8 ) 3 C_3^3\times(0.8)^3 C33×(0.8)3 |
E ( x ) = 0 × ( 0.2 ) 3 + 1 × 3 × ( 0.2 ) 2 × 0.8 + 2 × 0.2 × ( 0.8 ) 2 + 3 × ( 0.8 ) 3 = 0.096 + 0.768 + 0.512 = 1.376 E(x) = 0 \times (0.2)^3 + 1\times 3 \times\ (0.2)^2\times0.8 +2 \times 0.2\times(0.8)^2 + 3 \times (0.8)^3= 0.096+0.768+0.512=1.376 E(x)=0×(0.2)3+1×3× (0.2)2×0.8+2×0.2×(0.8)2+3×(0.8)3=0.096+0.768+0.512=1.376
解题技巧
- 确定取值:写出 X X X可能取的全部值
- 求概率:求 X X X每个值的概率
- 写出 X X X的分布列
- 由均值的定义求出 E ( X ) E(X) E(X)