dp求数学期望时往往是在上一个状态求完期望后，加上新状态的要求再求期望,但每次求dp时所乘的所有概率要等于1
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- 数学期望 P=Σ每一种状态*对应的概率。
- 因为不可能枚举完所有的状态，有时也不可能枚举完，比如抛硬币，有可能一直是正面，etc。在没有接触数学期望时看到数学期望的题可能会觉得很阔怕（因为我高中就是这么认为的，对不起何老板了QwQ），避之不及。 但是现在发现大多数题就是手动找公式或者DP推出即可，只要处理好边界，然后写好方程，代码超级简短。与常规的求解不同，数学期望经常逆向推出。
- 比如常规的dp[x]可能表示到了x这一状态有多少，最后答案是dp[n]。而数学期望的dp[x]一般表示到了x这一状态还差多少，最后答案是dp[0]。
- 经典的期望dp
-
题目大意
一个N面骰子，问把每一面都至少掷出一次期望次数是多少？
input
2
1
12
output
1.00
37.24
idea
一开始的时候，一直在想扔出一面的期望是1,扔出两面的期望是(1 - 1/n) * 2, 扔出三面的期望是(1 - 2 / n) * 3 ….试了试样例，发现不对。
正确的应该是4/4 + 4/3 + 4/2 + 4/1，假设n是4的话。
首先扔第一面的时候，是1这个没有问题。
扔第二面的时候，期望是3/4,因为对于第二次扔，可能1次扔中，2次扔中，3次扔中…无穷多次扔中。
这个时候的期望就是(1 + 1/4 + 1/4 * 1/4 + 1/4 * 1/4 * 1/4 + …） 其实这里的每一项都是1/4 * 1 * 1/4 * 1 * 1/4 * 1的，好好理解一下，然后这个就是等比级数。
等比级数的求和公式：
当| r | < 1 时，limx→∞ Sn = a1 / (1 - r) 此时等比级数收敛。
所以最终结果就是∑(n / i)
上面是理性推出来的做法
看了另一种做法就是概率dp，发现这个东西真的好厉害的
我觉得对于这种可以做无穷多次的，就是要想到这种dp的思想
dp[i]表示已经有了i种需要有的状态推到最终状态需要的期望次数，即求扔出（n-i）个面时的期望
很显然dp[n] = 0。
然后开始逆推。对于当前的状态，如果在做一次操作，要么保持原有的状态dp[i],这种概率是i/n，要么出现新的一种状态，这种概率是(n - i) / n.
dp[i] = i / n * (dp[i] + 1) + (n - i) / n * (dp[i + 1] + 1); //在扔了i个面的基础上再扔一次 比dp[i+1]还要再多扔出一个面.又由于选第i个数后再选一个数与已经选过的数不同的概率为(n−i)/n，相同为i/n
化简下就ok，dp[0]就是答案。
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作者：deerly_
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/deerly_/article/details/82708680
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