约数个数
任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积:
N = p 1 a 1 × p 2 a 2 × p 3 a 3 . . . p n a n N=p_1^{a_1}×p_2^{a_2}× p_3^{a_3} ... p_n^{a_n} N=p1a1×p2a2×p3a3...pnan,这里 p 1 < p 2 < p 3 . . . < p n p_1 < p_2 < p_3... < p_n p1<p2<p3...<pn均为质数,
其中指数 a i a_i ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。
N 的约数个数 = ( a 1 + 1 ) × ( a 2 + 1 ) × ( a 3 + 1 ) × . . . × ( a n + 1 ) (a_1+1) × (a_2 + 1) × (a_3 +1) × ... × (a_n + 1) (a1+1)×(a2+1)×(a3+1)×...×(an+1)
#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数: (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
*/
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
int main()
{
int n;
cin >> n;
map<int, int> h;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
for(int i = 2; i <= x / i; i ++)
{
while(x % i == 0)
{
h[i] ++;
x /= i;
}
}
// 任何一个数字x,最多只包含一个大于sqrt(x)的质因子
if(x > 1) h[x] ++;
}
int res = 1;
for(map<int, int>::iterator it = h.begin(); it != h.end(); it ++)
{
res = (LL) res * (it -> second + 1) % mod;
}
cout << res << endl;
return 0;
}
约数之和
N 的约数之和 = ( p 1 0 + p 1 1 + p 1 2 + . . . + p 1 a 1 ) × ( p 2 0 + p 2 1 + p 2 2 + . . . + p 2 a 2 ) × . . . × ( p n 0 + p n 1 + p n 2 + . . . + p n a n ) (p_1^0+p_1^1+p_1^2+...+ p_1^{a_1}) × (p_2^0 + p_2^1 + p_2^2 + ... +p_2^{a_2})×... × (p_n^0 + p_n^1 + p_n^2 + ... + p_n^{a_n}) (p10+p11+p12+...+p1a1)×(p20+p21+p22+...+p2a2)×...×(pn0+pn1+pn2+...+pnan)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
//divs[i] = j 表示因子i的个数为j
unordered_map<int, int> divs;
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
int x; cin>>x;
//求x的约数,及其个数
for(int i = 2; i <= x / i; i++){
while(x % i == 0) {
divs[i]++;
x /= i;
}
}
if(x > 1) divs[x]++;
}
long long res = 1;
for(auto d : divs){
int p = d.first, a = d.second;
long long t = 1;
// t[1] = 1 + p^1
// t[2] = 1 + (1 + p) * p = 1 + p^1 + p^2
// t[k - 1] = 1 + p^1 + p^2 + ... + p^{k-1}
// t[k] = 1 + t[k-1] * p= 1 + ( 1 + p^1 + p^2 + p^{k-1}) * p = 1 + p^1 + p^2 +...+ p^{k-1} + p^k
while(a--)
t = (1 + t * p) % mod;
res = res * t % mod;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}