NOIP2017普及组复赛——T4跳房子

题目描述

跳房子，也叫跳飞机，是一种世界性的儿童游戏，也是中国民间传统的体育游戏之一。

跳房子的游戏规则如下：

在地面上确定一个起点，然后在起点右侧画n个格子，这些格子都在同一条直线上。

每个格子内有一个数字（整数），表示到达这个格子能得到的分数。

玩家第一次从起点开始向右跳，跳到起点右侧的一个格子内。

第二次再从当前位置继续向右跳，依此类推。

规则规定：玩家每次都必须跳到当前位置右侧的一个格子内。

玩家可以在任意时刻结束游戏，获得的分数为曾经到达过的格子中的数字之和。

现在小R研发了一款弹跳机器人来参加这个游戏。

但是这个机器人有一个非常严重的缺陷，它每次向右弹跳的距离只能为固定的d。

小R希望改进他的机器人，如果他花g个金币改进他的机器人，那么他的机器人灵活性就能增加g，但是需要注意的是，每次弹跳的距离至少为1。

具体而言，当g<d时，他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为d-g, d-g+1, d-g+2，…，d+g-2，d+g-1，d+g；否则（当g≥d时），他的机器人每次可以选择向右弹跳的距离为1，2，3，…，d+g-2，d+g-1，d+g。

现在小R希望获得至少k分，请问他至少要花多少金币来改造他的机器人。

输入格式
第一行三个正整数n，d，k，分别表示格子的数目，改进前机器人弹跳的固定距离，以及希望至少获得的分数,相邻两个数之间用一个空格隔开。

接下来n行，每行两个正整数$x_i,s_i$，分别表示起点到第$i$个格子的距离以及第$i$个格子的分数。

两个数之间用一个空格隔开,保证$x_i$按递增顺序输入。

输出格式
共一行，一个整数，表示至少要花多少金币来改造他的机器人。

若无论如何他都无法获得至少k分，输出-1。

样例

7 4 10
2 6
5 -3
10 3
11 -3
13 1
17 6
20 2

A-G分别表示1号到7号格子，红色文字表示该格子对应的分值。

初始状态，当d = 4时，无法由起点跳到其它点，此时需要花费2金币改造，改造后机器人的移动范围变为$[2,6]$，此时：

1. 机器人跳到A点，得6分，总分6分
2. 机器人跳到B点，得-3分，总分3分
3. 机器人跳到C点，得3分，总分6分
4. 机器人跳到E点，得1分，总分7分
5. 机器人跳到F点，得6分，总分13分

所以，当花费2金币进行改造时，得分不低于10分。

算法思想(二分搜索+动态规划)

1. 假设已求得了最优解，即花费$g$个金币进行改造后，得分不低于$k$。如果在此状态下再花费若干金币，那么得分一定不低于$k$。因此花费的金币数和得分之间满足单调性质，是一个单调递增关系（不一定是严格单调递增），可以使用二分求解在花费不同金币进行改造时得分是否满足条件。
2. 要求花费$g$个金币进行改造后的最高得分，可以使用动态规划的思想：
   • 状态表示： f[i]表示在花费g个金币进行改造后，跳过前i个格子得到的最高得分
   • 状态转移：f[i] = max{f[j] + w[i]}，其中$\max (1,d-g)\le dist[i]-dist[j]\le d+g$

时间复杂度

$O(n\times d\times log\frac{x}{n})$，需要对DP进行剪枝。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 500010;
int n, d, k;
//五年OI一场空，不开long long见祖宗
LL dist[N], w[N], f[N];

//检查花费g个金币进行改造后，最高得分是否会超过k
bool check(int gold)
{
    
    
    //机器人能够弹跳的范围[L,R]
    int L = max(1, d - gold);
    int R = d + gold;
    
    //注意：这里要初始化为负无穷
    memset(f, 0xc0, sizeof f);
    f[0] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
    
    
        //从i的前一个格子开始，枚举到起点
        for(int j = i - 1; j >= 0; j --)
        {
    
    
            //剪枝，机器人从j号格子加上R还是法到达i号格子
            //那么从j号格子之前的格子也无法到达i号格子
            if(dist[j] + R < dist[i]) break;
            
            //机器人从j号格子加上L还是超过了i号格子
            //那么继续尝试j号之前的格子
            if(dist[j] + L > dist[i]) continue;
            
            //机器人从j号格子可以转移到i号格子
            f[i] = max(f[i], f[j] + w[i]);
            
            if(f[i] >= k) return true;
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);

    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld%lld", &dist[i], &w[i]);
    
    //R的大小可以通过x/n来确定，平均距离为2000
    int L = 0, R = 20000, ans = -1;
    
    while(L < R)
    {
    
    
        //所有满足条件的情况都在mid的右边区间，
        //搜索右边区间最小值
        //适用二分搜索模板1
        int mid = L + R >> 1;
        
        if(check(mid))
        {
    
    
            ans = mid;
            R = mid;
        }
        else L = mid + 1;
    }
    
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}