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题目链接

AtCoder Beginner Contest 179 C 题，https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_c。

Problem Statement

Given is a positive integer N. How many tuples (A,B,C) of positive integers satisfy A×B+C=N.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

Output

Print the answer.

Samples1

Sample Input 1

Sample Output 1

Explaination

There are 3 tuples of integers that satisfy A×B+C=3: (A,B,C)=(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1).

Samples2

Sample Input 2

Sample Output 2

Samples3

Sample Input 3

Sample Output 3

13969985

Constraints

2 ≤ N ≤ 10^6
All values in input are integers.

题解报告

题目翻译

给出一个整数 N，问满足 A×B+C=N 的由正整数构成三元组有几个。

题目分析

看到题目后，尤其看了一下数据范围 N 的最大值是 1e6，第一反应又是一个 DFS 题目。但是使用递归实现的 DFS 必然是 TLE，因为数据大，递归将导致压栈太深。

再想了一下，可以用暴力枚举，如果直接枚举 A、B 和 C，这样就是 O(N^3) 的时间复杂度，肯定也是 TLE。其实只要优化一下枚举的次数，本题就可以通过。也就是让时间复杂度降低到 O(N^2) 级别或者更低。

根据题目描述我们可以知道 A×B+C=N，可以推倒出 $B=\frac{N-C}{A}$ ，这样我们可以只要枚举两个变量，计算出 C，然后再验证计算出的数据是否满足 A×B+C=N 即可。

也就是说，第一重循环从 1 到 N 来枚举 A，第二重循环从 1 到 $\frac{N}{A}$ 来枚举 B，这样我们可以计算出 C，然后验证 A×B+C=N。这样设计的算法时间复杂度为调和级数。

样例数据分析

样例 1

根据输入，N=3。第一重循环从 1 到 3 枚举 A，第二重循环从 1 到 $\frac{N}{A}$ 来枚举 B，这样我们可以写出以下的表格。

A	B	C	是否满足	ans
1	1	2	满足	1
1	2	1	满足	2
1	3	0	不满足	2
2	1	1	满足	3
3	1	0	不满足	3

AC 参考代码

//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main() {
    int n;
    cin>>n;

    unsigned long long ans=0;
    for (int a=1; a<n; a++) {
        for (int b=1; b<=n/a; b++) {
            int c=n-a*b;
            if (c>0 && n==a*b+c) {
                ans++;
            }
        }
    }

    cout<<ans<<"\n";
 
    return 0;
}

时间复杂度

调和级数，也就是 O(nlogn)。

AtCoder题解——Beginner Contest 179——C - A x B + C