AtCoder题解 —— AtCoder Beginner Contest 188 —— B - Orthogonality —— 向量内积

题目相关

题目链接

AtCoder Beginner Contest 188 B 题，https://atcoder.jp/contests/abc188/tasks/abc188_b。

Problem Statement

Given are two $N$-dimensional vectors $A=(A_1,A_2,A_3,\dots ,A_N)$ and $B=(B_1,B_2,B_3,\dots ,B_N)$.
Determine whether the inner product of $A$ and $B$ is 0.
In other words, determine whether $A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3+\cdots +A_N{B}_N=0$.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
A1 A2 ... AN
B1 B2 ... BN

Output

If the inner product of $A$ and $B$ is 0, print Yes; otherwise, print No.

Sample 1

Sample Input 1

2
-3 6
4 2

Sample Output 1

Yes

Explaination

The inner product of $A$ and $B$ is $(-3)\times 4+6\times 2=0$.

Sample 2

Sample Input 2

2
4 5
-1 -3

Sample Output 2

No

Explaination

The inner product of $A$ and $B$ is $4\times (-1)+5\times (-3)=-19$.

Sample 3

Sample Input 3

3
1 3 5
3 -6 3

Sample Output 3

Yes

Explaination

The inner product of $A$ and $B$ is $1\times 3+3\times (-6)+5\times 3=0$.

Constraints

• $1\le N\le 100000$
• $-100\le A_i\le 100$
• $-100\le B_i\le 100$
• All values in input are integers.

题解报告

题目翻译

给两个 $N$-维向量 $A=(A_1,A_2,A_3,\dots ,A_N)$ 和 $B=(B_1,B_2,B_3,\dots ,B_N)$，判断向量 $A$ 和 $B$ 是否正交。也就是判断 $A\cdot B\equiv 0$。

题目分析

一个简单的数学题，从知识点的角度来说，属于线性代数部分。给定了向量 $A$ 和 $B$，判断是否正交，我们只需要就 $A$ 和 $B$ 的内积即可。
根据数学定义可知，$A$ 和 $B$ 的内积为
$$A_1{B}_1+A_2{B}_2+A_3{B}_3+\cdots +A_N{B}_N$$
因此本题没有任何技巧性，就是计算上面的这个累加和即可。
根据本题提供 $N$ 大小为 1e5，计算累加和的时间复杂度为 $O(N)$，可以满足 $1$ 秒的需求。

数据范围分析

$N$ 大小为 1e5，因此用 int 可以表示。下面我们估算一下内积的最大值和最小值。
$$\begin{gathered} An{s}_{max}=100\ast 100\ast 10^5=10^9 \\ An{s}_{min}=-100\ast 100\ast 10^5=-10^9 \end{gathered}$$
因此，用 int 是可以满足的。

AC 代码

//https://atcoder.jp/contests/abc188/tasks/abc188_a
//A - Three-Point Shot
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//如果提交到OJ，不要定义 __LOCAL
#define __LOCAL

const int MAXN =1e5+4;
int a[MAXN];
int b[MAXN];

int main() {
    
    
#ifndef __LOCAL
    //这部分代码需要提交到OJ，本地调试不使用
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
#endif
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        cin>>a[i];
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        cin>>b[i];
    }

    int ans=0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
    
    
        ans += a[i]*b[i];
    }
    if (0==ans) {
    
    
        cout<<"Yes\n";
    } else {
    
    
        cout<<"No\n";
    }

#ifdef __LOCAL
    //这部分代码不需要提交到OJ，本地调试使用
    system("pause");
#endif
    return 0;
}

扫描二维码关注公众号，回复： 12359428 查看本文章

时间复杂度

O(N)。

空间复杂度

O(N)。