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题目链接
AtCoder Beginner Contest 179 E 题，https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e。
Problem Statement
Let us denote by f(x,m) the remainder of the Euclidean division of x by m.
Let A be the sequence that is defined by the initial value A1=X and the recurrence relation . Find
.
Input
Input is given from Standard Input in the following format:
N X MOutput
Print .
Samples1
Sample Input 1
6 2 1001
Sample Output 1
1369
Explaination
The sequence A begins 2,4,16,256,471,620,… Therefore, the answer is 2+4+16+256+471+620=1369.
Samples2
Sample Input 2
1000 2 16
Sample Output 2
6
Explaination
The sequence A begins 2,4,0,0,… Therefore, the answer is 6.
Samples3
Sample Input 3
10000000000 10 99959
Sample Output 3
492443256176507
Constraints
- 1 ≤ N ≤ 10^10
- 0 ≤ X < M ≤ 10^5
- All values in input are integers.
题解报告
题目翻译
定义了一个函数 f(x, m)，该函数的含义是 x 对 m 进行欧几里得除法的余数。
我们定义一个序列 A，，
。要求我们计算
。
Euclidean division
内容来自 Wiki。
给两个整数 a 和 b，其中 ，存在一个唯一的整数 q 和 r，满足
，其中
。
样例数据分析
样例 1
根据输入可得，N=6，X=2，M=1001。整个计算过程如下。
| x | ans | |
| A1 | A1=2%1001=2 | ans=2 |
| A2 | A2=(2*2)%1001=4 | ans=6 |
| A3 | A3=(4*4)%1001=16 | ans=20 |
| A4 | A4=(16*16)%1001=256 | ans=276 |
| A5 | A5=(256*256)%1001=471 | ans=743 |
| A6 | A6=(471*471)%1001=620 | ans=1361 |
样例 2
根据输入可得，N=100，X=2，M=16。整个计算过程如下。
| x | ans | |
| A1 | A1=2%16=2 | ans=2 |
| A2 | A2=(2*2)%16=4 | ans=6 |
| A3 | A3=(4*4)%16=0 | ans=6 |
| A4 | A4=(0*0)%16=0 | ans=6 |
| ...... | ||
样例 3
根据输入可得，N=10000000000，X=10，M=99959。我去，这个 N 太大了，我还是算了。
题目分析
看上去好像比较简单啊，但是是 E 题，难度在哪里？当看到 N 的最大值是 1e10 的时候，就知道了，直接暴力枚举肯定是 TLE。
暴力枚举代码
//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
ULL qmi(ULL a, ULL b, ULL mo) {
ULL res=1;
while(b) {
if (b&1) {
res=res*a%mo;
}
a=a*a%mo;
b>>=1;
}
return res;
}
int main() {
ULL n,x,m;
cin>>n>>x>>m;
ULL ans=0;
for (int i=1; i<=n; i++) {
ans+=x;
x=qmi(x,2,m);
//cout<<"n="<<i<<",sum="<<ans<<"\n";
if (0==x) {
break;
}
}
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}
可以看到只有一些小数据测试用例可以通过，其他都是 TLE。
其实不需要使用快速幂，因为我们每次就是平方操作。
优化
好吧，我们开始优化环节，让我们再次阅读一下题目，我们可以发现在每次进行运算的时候，需要对 M 进行取模，而 M 的最大值为 1e5，也就是说明根据构造的函数 f(x, m) 计算出的数据可能性也就是 0 ~ 1e5-1，一共 1e5 个。也就是我们计算 Ai 的时候必然会出现循环部分，那么我们的优化就是找出这个循环部分。这样将 N 的数量级降低到了 1e5，那么我们就可以通过了。
所谓的优化，就是记录 Ai 落在 1e5 范围的数据即可。
首先，我们看在题目需要计算的是 A1+A2+...+An 的和，这样我们可以使用前缀和来降低复杂度。
我们使用两个数组，一个数组记录 Ai 的 A1+A2+...+Ai 的前缀和，另外一个数组记录 Ai 的位置。这两个数组的大小都是 1e5+4。使用数组 idx 存放索引，使用数组 sum 存放前缀和。
样例数据分析
样例 1
根据输入可得，N=6，X=2，M=1001。这样，我们可以得到优化算法的计算过程。
初始状态
第一次。A1=2%1001=2，而 idx[2]=0，说明数据没有计算。计算得 sum[1]=2。
第二次。A2=2*2%1001=4，由于 idx[4]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[2]=6。
第三次。A3=4*4%1001=16，由于 idx[16]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[3]=22。
第四次。A4=16*16%1001=256，由于 idx[256]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[4]=278。
第五次。A5=278*278%1001=471，由于 idx[471]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[5]=749。
第六次。A6=471*471%1001=620，由于 idx[620]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[6]=1369。
第七次。A7=620*620%1001=16，由于 idx[16]=3，说明数据已经计算，开始循环。这样我们就通过打表找到了循环。
下面我们需要做的就是查找出起点（left）和终点（right），在数组 sum 中找到最终的答案。
优化后代码
//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
const int MAXN=1e5+4;
int idx[MAXN];//和位置索引
ULL sum[MAXN];//和
int main() {
ULL n,x,m;
cin>>n>>x>>m;
//打表
ULL now;//当前Ai的值
ULL cnt;//位置
ULL l;//索引起点
ULL r;//索引终点
for (cnt=1, now=x; ; now=now*now%m, cnt++) {
if (!idx[now]) {
//没有计算过，标注已经计算
idx[now]=cnt;
} else {
//数据存在
l=idx[now];
r=cnt-1;
break;
}
//更新数据表
sum[cnt]=sum[cnt-1]+now;
}
ULL len=r-l+1;
ULL ans=0;
ans+=sum[min(n, l-1)];
n=max(0ULL, n-l+1);
if (n) {
ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/len)+(sum[n%len+l-1]-sum[l-1]);
}
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}