【HDU 6888】Art Class 线段树
【题意】
在二维平面上，给出 n ( n ≤ 2 × 1 0 5 ) n(n\leq 2\times 10^5) n(n≤2×105)个矩形，矩形的长和宽均和坐标轴平行，且每个矩形下方的边与 x x x轴所在直线重合。
每个矩形用三个参数表示 1 ≤ l < r ≤ 1 0 9 ， 1 ≤ h ≤ 1 0 9 1\leq l<r\leq 10^9，1\leq h\leq 10^9 1≤l<r≤109，1≤h≤109，表示矩形的左下角在 ( l , 0 ) (l,0) (l,0)，右上角在 ( r , h ) (r,h) (r,h)。
按顺序逐个给出矩形，给出的矩形区域涂黑，每给出一个矩形，问当前涂黑的区域的图形的周长和是多少。
【参考解法】
初步分析，涂黑的区域不一定是凸多边形，因此这道题不简单。
题目中宽度范围很大，但是垂直于 x x x轴的边最多只有 2 n 2n 2n条，因此可以根据这些垂直边的位置作离散化，得到最多 2 n − 1 2n-1 2n−1个条形区域。用数组记录每个条形区域在原来的图中对应的宽度。
这些条形区域互不影响，刚开始的值（覆盖高度）都是0.
可以把周长分为两个部分做统计：
1.统计平行于 x x x轴的边的长度。
2.统计平行于 y y y轴的边的长度。
第1部分其实就是有颜色的区间宽度的和的两倍，用线段树很好求，因此主要思考第2部分的长度。
我们发现，每次添加一个高 h h h的矩形，实际上相当于对区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]范围内的条形的高度进行了一次区间元素逐个与 h h h取 max \max max。
这里就要用到一种线段树的思想，即大部分选手所说的“Segment Tree Breats”或者“吉司机线段树”。追根溯源，可以在《国家集训队2016论文集》第99页找到吉如一前辈的论文：《区间最值操作和历史最值问题》。
而本题，只需要用到其中处理区间最值操作的思想就可以了，也就是，用线段树维护区间的最小值 m i mi mi和严格次小值 s m i smi smi，在区间最值操作的时候，根据 h h h与 m i mi mi和 s m i smi smi的大小关系，决定是直接操作打tag，还是继续递归，或是直接返回。
考虑下面一种线段树节点的定义：
struct node{
tag//区间求值操作的tag
mi,smi//区间最小值，严格次小值
cnt//区间中，最小值的段数。比如111311411中，最小值1就有3段
//上面的变量是处理区间最值操作的经典配置。
//下面的变量是完成本题操作求值的关键所在。
cover//区间覆盖操作的tag
wid//区间宽度
len//区间中，被矩形覆盖的部分的宽度之和
sum//区间中，所有竖边对周长的贡献总和（不考虑区间左右两端的贡献）
lv,rv//区间左右端点的值
}
注意一点，相邻两个位置之间高度有差距，就会对答案产生大小为两值之差的竖线贡献。
其中，值sum是求解最后答案的关键量，而sum的维护正是依靠于值cnt来做到的。当区间中 m i < h < s m i mi<h<smi mi<h<smi的时候，所有最小值 m i mi mi将增加到 h h h，这个时候区间中，竖线的贡献会发生变化，会减少。相邻的最小值一起增加，它们之间的竖线贡献是不会变的，只有某个最小值位置旁边存在非最小值时，会减少竖线的贡献。而正好可以通过cnt与区间两端的细节，快速计算出竖线贡献的减少量。
最后求解的答案是root.len*2 + root.lv + root.rv + root.sum;（伪代码）
也就是 水平边 + 两端的竖线 + 总区间中的竖线
在线段树中按照定义维护即可，区间合并操作非常关键，细节比较多。
复杂度 O ( n log n ) O(n\log n) O(nlogn)
#define George_Plover
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define MAXN 510001
#define LL long long
#define INF (-1)
using namespace std;
int T,n,m;
struct Command{
int l,r,h;
int l_new,r_new;
}c[MAXN];
pair<int, int> p[MAXN];
int cntp;
int w[MAXN];
struct Segment_Tree{
struct node{
int l,r;
int tag,cover;
int len;
LL sum;
int lv,rv;
//LL milen;
int mi,smi;
int cnt;
int wid;
}tr[MAXN*4];
int num;
void init()
{
num=1;
}
inline LL Abs(LL x)
{
return x<0?-x:x;
}
inline int Min(int &x,int &y)
{
return x>y?y:x;
}
inline void Check_max(int &x,int y)
{
if(y>x)x=y;
}
void pushup(int x)
{
int L=tr[x].l,R=tr[x].r;
tr[x].len=tr[L].len+tr[R].len;
tr[x].sum=tr[L].sum+tr[R].sum+Abs(tr[L].rv-tr[R].lv);
tr[x].lv=tr[L].lv;tr[x].rv=tr[R].rv;
if(tr[L].mi==tr[R].mi)
{
tr[x].smi=Min(tr[L].smi,tr[R].smi);
tr[x].mi=tr[L].mi;
tr[x].cnt=tr[L].cnt+tr[R].cnt+(tr[L].rv==tr[R].lv&&tr[L].rv==tr[x].mi?-1:0);
}
else if(tr[L].mi<tr[R].mi)
{
tr[x].mi=tr[L].mi;
tr[x].smi=Min(tr[R].mi,tr[L].smi);
tr[x].cnt=tr[L].cnt;
}
else
{
tr[x].mi=tr[R].mi;
tr[x].smi=Min(tr[R].smi,tr[L].mi);
tr[x].cnt=tr[R].cnt;
}
}
void Build(int x,int L,int R)
{
tr[x].tag=INF;tr[x].cover=0;
tr[x].smi=1+(tr[x].mi=2000000000);
if(L==R)
{
tr[x].cnt=1;
tr[x].sum=tr[x].mi=tr[x].lv=tr[x].rv=0;
tr[x].wid=w[L];/*tr[x].milen=*/tr[x].len=0;
return;
}
int mid=(L+R)/2;
tr[x].l=++num;Build(num,L,mid);
tr[x].r=++num;Build(num,mid+1,R);
pushup(x);
tr[x].wid=tr[tr[x].l].wid+tr[tr[x].r].wid;
}
void pushdown(int x)
{
int L=tr[x].l,R=tr[x].r;
if(tr[x].cover)
{
tr[L].len=tr[L].wid;tr[L].cover=1;
tr[R].len=tr[R].wid;tr[R].cover=1;
tr[x].cover=0;
}
if(tr[x].tag!=INF)
{
int tmp;
if(tr[x].tag > tr[L].mi && tr[x].tag < tr[L].smi)
{
Check_max(tr[L].tag,tr[x].tag);
tmp=0;
if(tr[L].lv==tr[L].mi)tmp++;
if(tr[L].rv==tr[L].mi)tmp++;
Check_max(tr[L].lv,tr[x].tag);
Check_max(tr[L].rv,tr[x].tag);
tr[L].sum-=(tr[L].cnt*2ll-tmp)*1ll*(tr[x].tag-tr[L].mi);
tr[L].mi=tr[x].tag;
}
if(tr[x].tag > tr[R].mi && tr[x].tag < tr[R].smi)
{
Check_max(tr[R].tag,tr[x].tag);
tmp=0;
if(tr[R].lv==tr[R].mi)tmp++;
if(tr[R].rv==tr[R].mi)tmp++;
Check_max(tr[R].lv,tr[x].tag);
Check_max(tr[R].rv,tr[x].tag);
tr[R].sum-=(tr[R].cnt*2ll-tmp)*1ll*(tr[x].tag-tr[R].mi);
tr[R].mi=tr[x].tag;
}
tr[x].tag=INF;
}
}
void Modify(int x,int L,int R,int al,int ar,int v)
{
//printf("%d %d %d %d %d %d %d\n",L,R,v,tr[x].mi,tr[x].smi,al,ar);
if(ar<L||R<al||v<=tr[x].mi)
return;
if(al<=L&&R<=ar&&v<tr[x].smi)
{
tr[x].cover=1;tr[x].len=tr[x].wid;
Check_max(tr[x].tag,v);
int tmp=0;
if(tr[x].lv==tr[x].mi)tmp++;
if(tr[x].rv==tr[x].mi)tmp++;
Check_max(tr[x].lv,v);
Check_max(tr[x].rv,v);
tr[x].sum-=(tr[x].cnt*2ll-tmp)*1ll*(v-tr[x].mi);
tr[x].mi=v;
return;
}
pushdown(x);
int mid=(L+R)/2;
Modify(tr[x].l,L,mid,al,ar,v);
Modify(tr[x].r,mid+1,R,al,ar,v);
pushup(x);
}
LL Query()
{
return tr[1].len*2ll+tr[1].lv+tr[1].rv+tr[1].sum;
}
}seg;
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
seg.init();
cntp=0;
scanf("%d",&n);
//n=200000;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&c[i].l,&c[i].r,&c[i].h);
//c[i].l=rand()%1000000000+1;
//c[i].r=rand()%1000000000+1;
//if(c[i].r<c[i].l)swap(c[i].r,c[i].l);
//if(c[i].r==c[i].l)c[i].l==1?c[i].r++:c[i].l--;
//c[i].h=rand()%1000000000+1;
p[++cntp]=make_pair(c[i].l,i);
p[++cntp]=make_pair(c[i].r,i);
}
sort(p+1,p+cntp+1);
p[0].first=-1;
int j=0;
for(int i=1;i<=cntp;i++)
{
if(p[i].first!=p[i-1].first)
{
w[j]=p[i].first-p[i-1].first;
j++;
}
if(p[i].first==c[p[i].second].l)
c[p[i].second].l_new = j;
else
c[p[i].second].r_new = j;
}
j--;
seg.Build(1,1,j);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
seg.Modify(1,1,j,c[i].l_new,c[i].r_new-1,c[i].h);
printf("%lld\n",seg.Query());
}
}
//cout<<"done"<<endl;
return 0;
}