一个初中平面几何问题

一个初中平面几何问题

张维海 (山东科技大学 电气与自动化工程学院 青岛 266590)

我是1981年初中毕业，读了大概三个月的高中后肄业。后面的日子一边在生产队干活，一边继续学习高中的数学。在学习了高中的二次曲线部分，特别是椭圆曲线后，我发现了下面一个初中平面几何定理，并给出了一个非常简洁的证明。1995年~1998年在浙大读博期间，曾经讲给一个师兄听，他听后认为是一个很巧妙的证明。我一直认为初中的平面几何当初是我最感兴趣的学习内容，它引导我喜欢上了数学。当时的年代由于课后习题少，参考书也不多，我曾经养成了自己编题，自己解题的习惯。下面这个结论的发现也许得益于养成的这种习惯。这么多年过去了，证明的过程仍然记忆犹新，作为消遣，写出来与大家共享，并欢迎大家就证明过程提出宝贵意见。我相信若证明正确的话（欢迎大家找错啊），对中学生及其家长是有益的，它不失为一个好的智力开发题。当然若结论或证明过程与前人雷同，则纯属巧合（毕竟平面几何这个学科太过古老，本人也不从事中学数学的教学，担心有不知道的东西已经存在了）。

定理：在$△ABC$的内部不存在一个点$P$到三个顶点的距离和最长。即不存在一个点$P$使$PA+PB+PC$最长。

证明：如上图所示，以 $B$ 和 $C$ 为焦点，过$P$做一椭圆，在椭圆上 $P$ 的两边分别取 $P_1$ 和 $P_2$ 两个点。根据椭圆的性质，$P_{1}B+P_{1}C=PB+PC=P_{2}B+P_{2}C$。因此，我们只需证明 $P_{1}A$ 和 $P_{2}A$ 至少有一条大于 $PA$ 即可。连接 $P_1$ 和 $P$，$P_2$ 和 $P$。 考虑 $△A{P}_{1}P$ 和 $△AP{P}_2$，由于$\angle P_{1}P{P}_2<180^{。}$ , 所以$\angle P_{1}PA$ 和 $\angle P_{2}PA$ 至少一个为钝角, 而钝角所对应的边一定为最大边，结论由此而证明。

注1：上面的证明结合了二次曲线的性质，如何用初中平面几何的知识进行证明则是一个有趣的问题。上面证明中直观地使用了$\angle P_{1}P{P}_2<180^{。}$ ，而这个其实是利用了椭圆的凸性。
注2：上面的定理是否对凸多边形也成立？若成立如何证明？这个是否可以引申出现代数学的某些东西呢？