关于一个平面内矩形个数的问题

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问题

一个平面内的 $n$个点，以这 $n$个点为顶点，最多能构成多少个矩形？点的排列是自己决定的。

先说结论：构成矩形的个数，上界是 $O(n^2\sqrt{n})$，下界是 $\Omega(n^2)$。

上界

记 $C_{a,b}$表示 $a,b$为直径的圆。

对于每一个点 $p_i$，如果 $p_a,p_b,p_c,p_d$能构成一个矩形，当且仅当 $C_{p_a,p_c}=C_{p_b,p_d}$。

记 $d_i$为 $C_i$上相反的点对个数，就是说 $d_i=|\{(p_j,p_k)\mid C_i=C_{p_j,p_k}\}|$。

可以得出，矩形个数就是 $\sum_{i=1}^m \frac{d_i\times (d_i-1)}{2}$， $\sum_{i=1}^m d_i=\frac{n\times (n-1)}{2}$。

我们假设 $d_1\geq d_2\geq \cdots\geq d_n$。记 $k$满足 $d_k>2 \sqrt{n},d_{k+1}\leq 2\sqrt{n}$，由于两圆只可能交于两点，因此可以得到 $k\leq \sqrt{n}$。

证明：如果 $k>\sqrt{n}$，那么可以发现点的个数 $\geq \sum_{i=1}^k (2d_i-2(i-1))>4k\sqrt{n}-k(k-1)>4n-n+\sqrt{n}>n$，因此 $k$必定 $\leq \sqrt{n}$。

那么矩形个数就是
$\sum_{i=1}^m \frac{d_i\times (d_i-1)}{2}\leq \sum_{i=1}^m d_i^2 = \sum_{i=1}^k d_i^2+\sum_{i=k+1}^m d_i^2 \leq \sum_{i=1}^{\sqrt{n}} d_i^2+\sum_{i=1}^n (2\sqrt{n})^2\leq \sum_{i=1}^{\sqrt{n}} (\frac{n}{2})^2 + 4n^2 = O(n^2\sqrt{n})$
因此， $n$个点能够构成的矩形个数的上界是 $O(n^2\sqrt{n})$。

下界

构造一个网格，边长为 $\sqrt{n}$，每选择两个点，必定能构成一个边平行于坐标轴的矩形，这样的矩形个数显然是 $\Omega(n^2)$。显然还有可能其他的矩形，这里不做考虑。