平面几何常用算法 整理

1.定义

先要定义一些用于计算的基本对象：点[Point]，向量[Vector]，线段[Segment]，直线[Line]，多边形[Polygon]，圆[Circle]。

可以想到：

Point和Vector：点和向量可以看做是相同的，点也可以看做是自原点出发的向量；

Segment和Line：线段和直线可以看做是相同的，都是由两个Point确定的一条线；

Polygon：多边形可以看做是一些点的集合，用vector<Point>来描述；

Circle:圆的描述由很多种方法，比如常用的圆心和半径确定一个圆，或者三点确定一个圆，我们采用点和圆心来确定一个圆；

2.为了方便做后续计算，我们定义了一些常用的函数，对类做了简单的运算符重载；

比如对于点，做了 加减乘除，小于，等于这些运算； 

---

点/向量的运算：

对于向量，定义了double norm(Point p)来表示向量长度的平方，用double abs(Point p) 来表示向量的距离；

double dot(Point a, Point b) 表示两条向量的内积，dot(a,b)的几何意义是边a到边b的投影，为一个double值=a*b*cos<a,b>；

double cross(Point a, Point b) 表示两条向量的外积，cross(a,b)的几何意义是a和b构成了一个平行四边形的面积，为一个double值=a*b*sin<a,b>（数学意义上来说外积是有方向的一个向量，但是在这里我看做没有方向的一个数值）；

isOrthogonal表示两个向量是否正交，即内积为0  ，即  cos<a,b>=0，对于函数的输入参数，提供两种方式，可以提供两个向量，也可以提供4个点，也可以提供两条线段;

isParallel表示两个向量是否平行，即外积为0  ，即  sin<a,b>=0，对于函数的输入参数，提供两种方式，可以提供两个向量，也可以提供4个点，也可以提供两条线段;

Point project(Segment s, Point p)表示点p在线段s上的投影；

Point reflect(Segment s, Point p)表示点p在线段s后的映射的点；

double getDistance(Point a, Point b)表示点a到点b的距离；

---

线段的运算：

double getDistanceLP(Line l, Point p)表示点p到直线l的距离；

double getDistanceSP(Segment s, Point p)表示点p到线段s的距离【当点p和s的两个顶点构成的角是钝角的时候，就要取点p到两个顶点距离的较小值，如果是锐角则可以退化成点到直线距离问题】；

int ccw(Point p0, Point p1, Point p2)用来表示，在p0p1线段确定的情况下，给出点p2与这个线段的关系，判断有clockwise,counterclockwise,online_back,online_front,on_segment五种情况；

bool intersect用于判断两条线段是否相交，可以借助ccw的三点关系来描述两条线段是否相交，输入的参数可以是四个点，或者两条线段；

double getDistance(Segment s1, Segment s2)表示两条线段s1和s2的距离，如果两条线段相交就是0，如果不相交，则是一条线段的顶点到另一条线段的距离，四个顶点的距离中的最小值；

Point getCrossPoint(Segment s1, Segment s2)表示线段s1和s2的交点，用几何方法表示出交点；

---

圆的运算：

pair<Point, Point> getCrossPoints(Circle c, Line l)表示圆c与直线l的相交所形成的两个交点，使用圆内的勾股定理得出；

pair<Point, Point> getCrossPoints(Circle c1, Circle c2)表示圆c1于圆c2相交所形成的两个交点，使用余弦定理得出；

---

多边形的运算：

int contains(Polygon g, Point p)表示点p是否被多边形g内包，IN=2，ON=1，OUT=0；

Polygon andrewScan(Polygon s)表示点集合s（用多边形来形容）的凸包（指包含s中所有点的最小凸多边形）；

---

代码部分如下：

#define _CRT_SBCURE_NO_DEPRECATE
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>

using namespace std;

const int maxn = 110;
const int INF = 0x7fffffff;

#define EPS  (1e-10)
#define equals(a,b) (fabs((a) - (b)) < EPS)

// 点类
class Point {
public :
	double x, y;
	Point() {};
	Point(double x, double y) :x(x), y(y) {}

	Point operator + (Point p) { return Point(x + p.x, y + p.y); }
	Point operator - (Point p) { return Point(x - p.x, y - p.y); }
	Point operator * (double a) { return Point(x * a, y * a); }
	Point operator / (double a) { return Point(x / a, y / a); }

	bool operator < (const Point &p) const {
		return x != p.x ? x < p.x : y < p.y;
	}

	bool operator == (const Point &p) const {
		return fabs(x - p.x) < EPS && fabs(y - p.y) < EPS;
	}
};
// 线段类
class Segment {
public:
	Point p1, p2;
	Segment() {};
	Segment(Point p1, Point p2) :p1(p1), p2(p2) {};
};
// 圆类
class Circle {
public:
	Point c;
	double r;
	Circle() {};
	Circle(Point c, double r) :c(c), r(r) {}
};
// 定义向量
typedef Point Vector;
// 定义直线
typedef Segment Line;
// 定义多边形
typedef vector<Point> Polygon;

/***************************点、向量****************************/

double norm(Point p) { return p.x * p.x + p.y * p.y; }
double abs(Point p) { return sqrt(norm(p)); }

// 向量的内积
double dot(Point a, Point b) {
	return a.x * b.x + a.y * b.y;
}
// 向量的外积
double cross(Point a, Point b) {
	return a.x * b.y - a.y * b.x;
}

// 向量a，b是否正交 <==> 内积为0
bool isOrthogonal(Vector a, Vector b) {
	return equals(dot(a, b), 0.0);
}
bool isOrthogonal(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2) {
	return equals(dot(a1 - a2, b1 - b2), 0.0);
}

// 向量a，b是否平行 <==> 外积为0
bool isParallel(Vector a, Vector b) {
	return equals(cross(a, b), 0.0);
}
bool isParallel(Point a1, Point a2, Point b1, Point b2) {
	return equals(cross(a1 - a2, b1 - b2), 0.0);
}

// 点p在线段s上的投影
Point project(Segment s, Point p) {
	Vector base = s.p2 - s.p1;
	double r = dot(p - s.p1, base) / norm(base);
	return s.p1 + base * r ;
}

//以线段s为对称轴与点p成线对称的点
Point reflect(Segment s, Point p) {
	return p + (project(s, p) - p) * 2.0;
}

// 点a到点b的距离
double getDistance(Point a, Point b) {
	return abs(a - b);
}

// 线段l和点p的距离
double getDistanceLP(Line l, Point p) {
	return abs( cross(l.p2 - l.p1, p - l.p1) / abs(l.p2 - l.p1) );
}

// 线段s与点p的距离
double getDistanceSP(Segment s, Point p) {
	if (dot(s.p2 - s.p1, p - s.p1) < 0.0)
		return abs(p - s.p1);
	if (dot(s.p1 - s.p2, p - s.p2) < 0.0)
		return abs(p - s.p2);
	return getDistanceLP(s, p);
}



/*************************线段********************************/
// 线段s1，s2是否正交 <==> 内积为0
bool isOrthogonal(Segment s1, Segment s2) {
	return equals(dot(s1.p2 - s1.p1, s2.p2 - s2.p1), 0.0);
}

// 线段s1，s2是否平行 <==> 外积为0
bool isParallel(Segment s1, Segment s2) {
	return equals(cross(s1.p2 - s1.p1, s2.p2 - s2.p1), 0.0);
}

// 逆时针方向ccw（Counter-Clockwise）
static const int COUNTER_CLOCKWISE = 1;
static const int CLOCKWISE = -1;
static const int ONLINE_BACK = 2;
static const int ONLINE_FRONT = -2;
static const int ON_SEGMENT = 0;

int ccw(Point p0, Point p1, Point p2) {
	Vector a = p1 - p0;
	Vector b = p2 - p0;
	if (cross(a, b) > EPS) return COUNTER_CLOCKWISE;
	if (cross(a, b) < -EPS) return CLOCKWISE;
	if (dot(a, b) < -EPS) return ONLINE_BACK;
	if (norm(a) < norm(b)) return ONLINE_FRONT;
	return ON_SEGMENT;
}

// 判断线段p1p2和线段p3p4是否相交
bool intersect(Point p1, Point p2, Point p3, Point p4) {
	return (ccw(p1, p2, p3) * ccw(p1, p2, p4) <= 0 &&
		ccw(p3, p4, p1) * ccw(p3, p4, p2) <= 0);
}

//判断线段s1和s2是否相交
bool intersect(Segment s1, Segment s2) {
	return intersect(s1.p1, s1.p2, s2.p1, s2.p2);
}

// 线段s1和线段s2的距离
double getDistance(Segment s1, Segment s2) {
	// 相交
	if (intersect(s1, s2))
		return 0.0;
	return min(min(getDistanceSP(s1, s2.p1), getDistanceSP(s1, s2.p2)),
		min(getDistanceSP(s2, s1.p1), getDistanceSP(s2, s1.p2)));
}

// 线段s1与线段s2的交点
Point getCrossPoint(Segment s1, Segment s2) {
	Vector base = s2.p2 - s2.p1;
	double d1 = abs(cross(base, s1.p1 - s2.p1));
	double d2 = abs(cross(base, s1.p2 - s2.p1));
	double t = d1 / (d1 + d2);
	return s1.p1 + (s1.p2 - s1.p1) * t;
}

/***************************圆****************************/

// 圆c和直线l的交点
pair<Point, Point> getCrossPoints(Circle c, Line l) {
	Vector pr = project(l, c.c);
	Vector e = (l.p2 - l.p1) / abs(l.p2 - l.p1);
	double base = sqrt(c.r * c.r - norm(pr - c.c));
	return make_pair(pr + e * base, pr - e * base);
}

// 圆c1和圆c2的交点
double arg(Vector p) { return atan2(p.y, p.x); }
Vector polar(double a, double r) { return Point(cos(r) * a, sin(r) * a); }

pair<Point, Point> getCrossPoints(Circle c1, Circle c2) {
	double d = abs(c1.c - c2.c);
	double a = acos((c1.r * c1.r + d * d - c2.r * c2.r) / (2 * c1.r * d));
	double t = arg(c2.c - c1.c);
	return make_pair(c1.c + polar(c1.r, t + a), c1.c + polar(c1.r, t - a));
}

/***************************多边形****************************/
// 点的内包
/*
	IN 2
	ON 1
	OUT 0
*/
int contains(Polygon g, Point p) {
	int n = g.size();
	bool x = false;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		Point a = g[i] - p, b = g[(i + 1) % n] - p;
		if (abs(cross(a, b)) < EPS && dot(a, b) < EPS) return 1;
		if (a.y > b.y) swap(a, b);
		if (a.y < EPS && EPS < b.y && cross(a, b) > EPS)
			x = !x;
	}
	return (x ? 2 : 0);
}
int cmp(Point A, Point B)                     //竖直排序  
{
	return (A.y<B.y || (A.y == B.y&&A.x<B.x));
}
// 凸包 
Polygon andrewScan(Polygon s) {
	Polygon u, l;
	int len = s.size();
	if (len < 3) return s;


	// 以x，y为基准升序排序
	sort(s.begin(), s.end());
	// 将x值最小的两个点添加到u
	u.push_back(s[0]);
	u.push_back(s[1]);

	// 将x值最大的两个点添加到l
	l.push_back(s[len - 1]);
	l.push_back(s[len - 2]);

	// 构建凸包上部
	for (int i = 2; i < len; i++) {
		for (int j = u.size(); j >= 2 && ccw(u[j - 2], u[j - 1], s[i]) >= 0; j--) {
			u.pop_back();
		}
		u.push_back(s[i]);
	}
	// 构建凸包下部
	for (int i = len - 3; i >= 0; i--) {
		for (int j = l.size(); j >= 2 && ccw(l[j - 2], l[j - 1], s[i]) >= 0; j--) {
				l.pop_back();
		}
		l.push_back(s[i]);
	}

	reverse(l.begin(), l.end());
	for (int i = u.size() - 2; i >= 1; i--)
		l.push_back(u[i]);

	return l;
}