NKOJ P1048 筷子

Description

A先生有很多双筷子。确切的说应该是很多根，因为筷子的长度不一，很难判断出哪两根是一双的。这天，A先生家里来了 $K$ 个客人，A先生留下他们吃晚饭。加上A先生，A夫人和他们的孩子小A，共 $K+3$ 个人。每人需要用一双筷子。A先生只好清理了一下筷子，共 $N$ 根，长度为 $T_1,T_2,T_3,……,T_N$ .现在他想用这些筷子组合成 $K+3$ 双，使每双的筷子长度差的平方和最小。(怎么不是和最小？？这要去问A先生了，呵呵)

Input Format

输入文件共有两行，第一行为两个用空格隔开的整数，表示 $N,K(1≤N≤100, 0<K<50)$
第二行共有N个用空格隔开的整数，为 $T_i$ .每个整数为1～50之间的数。

Output Format

输出文件仅一行。如果凑不齐K+3双，输出-1，否则输出长度差平方和的最小值。

Sample Input

10 1
1 1 2 3 3 3 4 6 10 20

Sample Output

5

Hint

第一双 $1$ $1$
第二双 $2$ $3$
第三双 $3$ $3$
第四双 $4$ $6$
$(1-1)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-6)^2=5$

分析：

这道题看到就知道没有别的办法了，只能DP，贪心选择显然有问题。

排序是必须的，难点在于状态定义，很容易想到的是令 $f_i$ 为从 $1$ 到 $i$ 选择 $K + 3$ 双筷子的最小平方差之和。

可是这样明显转移困难，考虑加一个参数。

令 $f_{i,j}$ 为区间 $i$ 到 $j$ 内选择 $K + 3$ 双筷子的代价（平方差之和）。

显然这样转移也比较困难，当 $j-i > K + 3$ 时根本无法转移（除非你想每个测试点都TLE）。

令 $f_i$ 表示选择 $i$ 双筷子最小的代价？

还是没法转移……

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于是我就卡壳了……（原谅本蒟蒻水平有限）。

然后去问老师，老师开始把状态定义成第三种状态，也是没法转移，于是老师加了个限制：

令 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中取 $j$ 双筷子最小的代价

于是状态变得有序化了，我就自己推导出了决策与方程。

决策：

对于每个 $f_{i,j}$，决策不外乎就是让 $a_i$ 和 $a_{i-1}$ 作为一双筷子和放弃 $a_i$ 双筷子。

方程：

$dp_{i,j} = min(dp_{i-1,j},dp_{i-2,j-1} + (a_i-a_{i-1})^2)$

阶段：

以前 $i$ 个数作为一个阶段。

综上，时间复杂度为 $O(N^2)$ ，所以 $100$ 的数据明显放水。

$Code$：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int a[105], dp[105][105], n, k;

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	scanf("%d", a + i);
	sort(a + 1, a + n + 1);//别忘了排序
	k += 3;
	if (k > (n >> 1))//如果根本不够分K+3双，输出-1
	{
		puts("-1");
		return 0;
	}
	for (int i = 1; i <= 51; i ++)//初始化QAQ
	for (int j = 0; j < 2 * i; j ++)//如果该区间内不够分i双筷子，那么初始化为INF
	dp[j][i] = 0x3fffffff;//别整7f，一不小心就炸了
	for (int i = 2; i <= n; i ++)
	for (int j = 1; j <= (i >> 1); j ++)//最多只能分i/2双筷子
	{
		dp[i][j] = dp[i - 2][j - 1] + (a[i] - a[i - 1]) * (a[i] - a[i - 1]);//方程，如果取a[i]与a[i-1]作为一双筷子
		if (dp[i - 1][j] < dp[i][j]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];//如果放弃第i根筷子，那么取dp[i-1][j]
	}
	printf("%d", dp[n][k]);
	return 0;//其实代码不长，主要是状态定义（这是一道区间DP）
}