基础算法(10) —— 差分

一维差分

$a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 前缀
构造 $b_1,b_2,b_3,...,b_n$ 差分
使得： $a_i=b_1+b_2+...+b_n$
(对b[ ]求前缀和就是a[ ]);
其中：
$b_1=a_1$ ;
$b_2=a_2-a_1$ ;
$b_3=a_3-a_2$ ;
$b_n=b_n-b_{n-1}$ ;

从 $[ l,r ]+c$ 则 $a_l$ + $c+a_{l+1}$ + $c+...+a_r$ + $c$
只需要在 $[l,r]$ b加上即可 $b_l$ + $c+b_{l+1}$ + $c+...+b_r$ + $c$
还需要： $b_{r+1}-c$
现在将时间复杂度从 $O(n)$ 改为 $O(1)$

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    //前缀和的差分=原序列 差分的前缀和=原序列
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    while(m--)
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;
        b[r + 1] -= c;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        b[i] += b[i-1];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

二维差分

二维差分直观图

例题：Acwing 798.差分矩阵
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
$1≤n,m≤1000$ ,
$1≤q≤100000$ ,
$1≤x_1≤x_2≤n$ ,
$1≤y_1≤y_2≤m$ ,
$−1000≤c≤1000$ ,
$−1000≤矩阵内元素的值≤1000$
输入样例：

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];//b[i][j]记录的是相邻元素的差

//二维差分的核心
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    //只需要处理4个点   (将O(n)的时间复杂度变成O(1))
    b[x1][y1] += c;//将(x1,y1)右下角的所有点+c
    b[x2 + 1][y1] -= c;//将(x2+1,y1)右下角的所有点-c
    b[x1][y2 + 1] -= c;//将(x1,y2+1)右下角的所有点-c
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;//将(x2+1,y2+1)右下角的所有点+c
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);   
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= m;j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    //差分 初始化矩阵。
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= m;j++) 
            insert (i, j, i, j, a[i][j]);

    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c); 
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    //求前缀和
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= m;j++)
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
            
    //输出
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m;j++)
            printf("%d ", b[i][j]);
        printf("\n");
    }
        
    return 0;
}