研究算法的目的就是以设计时间复杂度更小的算法，但要想对算法进行优化必须学会计算每一个步骤的算法大小，进而从中寻找可以缩减的位置。为了计算每一步，有必要掌握一些基本的数学知识，有句话说过：数学水平在一定程度上决定了计算机的高度。
对于大多数算法而言，都应用到了for/while循环。在循环不断进行的过程中，每次运行循环体内基本操作的执行次数都是不同的。想要将每一次的结果相加，就相当于是不规则数的相加，也就是“求和”。同时，大多数算法使用递归方法，虽然递归有很多隐形的坏处，但是表达十分清晰，也常常被使用。给定递归式，寻找到所需总时间和输入N的关系，也是十分重要的。对数学能力的要求也是非常高的。下面从上文提及的两方面展开，分别谈论所需要的一些数学知识。
2.1集合，关系和函数
集合是数学中基础的概念，在集合之上定义了很多集合的操作（交，并，补）。以集合为基础设计的算法也有很多，例如：并查集（克鲁斯卡尔算法求解最小生成树）等等。关系是以集合依据的，多说一个在集合上的关系。关系的内容也有很多，例如等价关系，传递关系等等。相对详细的内容可以在离散数学中学到。函数可以理解成一种二元关系（x和y之间），一定是每一个x，有一个y与之对应，否则不可以被称作函数。根据像和原像的关系，函数还可以被分为单射（所有x都有对应且对应不同的y），满射（所有的y都具有原像），同时满足单射和满射的叫做双射。
2.2证明
证明是算法中很常见的考察方法，例如课后题中就包括很多时间复杂度的证明。在学习算法之前，我们已经学习了离散数学。我认为离散数学的一个教学目标就是教如何使用符号做证明，使证明过程更清晰易懂。证明的方法大概可以分成五种：
1）直接证明法：从现有条件出发，使用定理或者公理，最终得出想要的结论。直接证明也有两种方向，可以从条件证结论，也可以从结论证条件。要求过程中的每一个步骤都必须是充要条件。
2）间接证明法：证明原来命题的逆否命题成立。或者从中间出发，向两头延伸，最终得到条件和结论。
3）反证法：是一种常用的证明方法，当结论有明显的一个方向的倾向时可以使用反证法。假设结论不成立，推导和条件之间的矛盾。
4） 反例证明法：反例证明法往往用于结论已经明确。举出一个错误不满足明确的关系，即可证明。大多数情况下，反例很难被列举出来。
5）数学归纳法：数学归纳法常用于正确结论已经知道，但是需要详细的过程进行推导。具有相对固定的模板，已知n=1时成立，假设n=k时成立，通过n=k式子的变形推导出n=k+1也同样成立。
2.3对数
在算法分析中很多时间复杂度是和和㏒n有关的（在计算机中所有的对数函数的都是以2为底的），关于对数有计算公式如下：
2.4顶函数与底函数
在算法中常常会对整数做除以2的操作，但此时如果不知道整数的奇偶性，就会出现小数。为了进一步明确范围，会使用顶函数和底函数。顶函数是大于等于x的最小整数，底函数是小于等于x的最大整数。
关于顶函数和底函数有以下重要等式：
2.5阶乘和二项式系数
阶乘来源于排列，表示第一个位置有多少种排法，进而第二个位置有多少种排法，依此类推。常用大写P表示，阶乘的时间复杂度是很高的，经常的表示公式为：
二项式系数来源于组合。组合即不考虑顺序，是阶乘的推广。重要的是组合数公式：
2.6鸽巢原理
鸽巢定理讲的是一定分配的必然性，比如十一只鸽子进入十个洞穴，必然至少有两个鸽子在其中一个洞穴。从至多至少两个角度，可得如下公式：
2.7和式
和式有以下公式：
当被加式子不再只取整数，而变成一个函数时，需要使用积分的知识求解。可以使用不等式来确定上下界，当左右两式达到相同的数量级时，就证明了时间复杂度。
2.8递推关系：
递推关系用于计算递归函数的时间复杂度，分为以下几类：
对于齐次和非齐次的定义是由如下式子决定的:
1）线性齐次递推式（实例见书P53页）：
2）非齐次递推关系（实例见书P55页）：
3）分治递推关系：
在算法中，对很多大规模都会采用分治思想，将时间复杂度不断细分再将更小规模整合，其中二分法是最常见的。
分治递推关系主要有三种方法求解：
（1）展开递推式（具体见书P57）：
将递推式不断展开，直到某已知项，多为f(1)/f(0)。但展开递推式存在若干缺点：有些情况下耗时，呆板，也容易出现计算错误。
（2）代入法（具体见书P59）
这种方法，通常用来证明上下界，也可证明精确解。需要猜想一个解，结合数学归纳法求出所设的参数值。对于猜想的解是依靠经验或者之前学过的一些定理或者推论。
（3）更换变元（具体见书P62）
更换变元可以是用指数函数代替原来的分子分母式，尽力转化成前面齐次的形式在进行求解。