纪中暑假集训 2020.08.14【NOIP提高组】模拟 T3：【GDOI2014模拟】服务器

【GDOI2014模拟】服务器

Description

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。

首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

Input

输入文件的第一行有一个整数n，表示服务器的数目。输入文件的第二行有n个整数，顺数第i个表示ci：在Si上直接复制文件的费用。

Output

输出文件中只包含一个整数，即最少需要花费的费用。

Sample Input

10

2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

Data Constraint

60%的数据中，1 <= n <= 1 000

100%的数据中，1 <= n <= 1 000 000

80%的数据中， 1 <= ci <= 50

100%的数据中，1 <= ci <= 1 000 000 000

最终结果可能较大，请注意选择适当的数据类型进行计算。

Hint

反思&题解

比赛思路： 只是粗略地看了看题，其他时间都一直在干T1和T2
正解思路： 设 $f[i]$表示这个服务器直接复制的最小话费，那么很显然第n个服务器是必须直接复制的，因为它无法从另外的服务器间接复制，所以 $f[n]=\dfrac{n(n-1)}{2}+c[n]$，因为是从最后一个服务器开始转移的，所以需要倒着处理，之后考虑转移，思考一下，不难推出转移方程为：
$f[i]=min(f[j]-\dfrac{j(j-1)}{2}+\dfrac{(j-i)(j-i-1)}{2}+c[i]+\dfrac{i(i-1)}{2})(i+1≤n)$
之后可以看到这个转移是 $O(n^2)$的，过不了，不过我们可以发现 $f[j]-\dfrac{j(j-1)}{2}$这一段是只包含j的，所以我们直接用单调队列维护一下就OK了。（这题还可以用斜率优化做，但是我还没学，就用了单调队列）
反思： 时间分配要注意，还有善用学过的知识（话说单调队列我差不多有半年没打了）

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,c[1000005],f[1000005],d[1000005][2],ans;
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	long long i;
	for (i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&c[i]);
	f[n]=n*(n-1)/2+c[n];
	long long head=1,tail=1;
	d[1][0]=c[n];
	d[1][1]=n;
	ans=f[n];
	for (i=n-1;i>=1;i--)
	{
		long long j,mn=1e15,mnnum;
		for (j=head;j<=tail;j++)
		{
			if (d[j][0]+(d[j][1]-i)*(d[j][1]-i-1)/2<=mn)
			{
				mnnum=j;
				mn=d[j][0]+(d[j][1]-i)*(d[j][1]-i-1)/2;
			}
		}
		head=mnnum;
		f[i]=d[head][0]+(d[head][1]-i)*(d[head][1]-i-1)/2+c[i]+i*(i-1)/2;
		ans=min(ans,f[i]);
		while (head<=tail && d[tail][0]>f[i]-i*(i-1)/2) tail--;
		d[++tail][0]=f[i]-i*(i-1)/2;
		d[tail][1]=i;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}