纪中暑假集训 2020.08.08【NOIP提高组】模拟 T3：【Usaco 2010 NOV Gold】奶牛的图片

【Usaco 2010 NOV Gold】奶牛的图片

Description

Farmer John希望给他的N(1<=N<=100,000)只奶牛拍照片,这样他就可以向他的朋友炫耀他的奶牛.这N只奶牛被标号为1…N.
在照相的那一天,奶牛们排成了一排.其中第i个位置上是标号为c_i(1<=c_i<=N)的奶牛.对于奶牛的站位,Farmer John有他自己的想法.
FJ是这么想的,标号为i(1<=i<=n-1)的奶牛只能站在标号为i+1的奶牛的左边,而标号为N的奶牛只能站在标号为1的奶牛的左边.当然,没有牛可以站在队列中最左边的奶牛的左边了.也就是说,最左边的奶牛编号是随意的.
这些奶牛都非常的饿,急切的希望吃到FJ承诺的在拍照后的大餐,所以FJ想尽快的拍照.奶牛们的方向感非常的不好,所以FJ每一分钟只可以选择相邻的两只奶牛然后让他们交换位置.FJ最小需要多少时间就能使奶牛站成一个可以接受的序列?
比方说一个有5只奶牛的例子,一开始序列是这样的:
左边 右边
3 5 4 2 1

第一分钟,FJ可以交换第二队奶牛(即5和4),交换后的队列:
3 4 5 2 1
第二分钟,FJ交换最右边的一对,序列变成这样:
3 4 5 1 2
这样,只用了2分钟,就是序列变为了一个FJ所希望的序列.

Input

第1行:一个单独的数N
第2到n+1行:第i+1行上的数表示站在第i的位置上的奶牛的编号(即c_i).

Output

一个整数,表示是奶牛的序列变为一个合法的序列的最小花费时间.

Sample Input

5
3
5
4
2
1

Sample Output

2
比赛思路： 直接输出 $n/2$，竟然有20分……
正解思路： 如果是相邻两个数两两交换，那么形成顺序 $[1,2,3,……,n]$的排列的交换次数就是逆序对个数，所以我们先求出这个数列的逆序对个数。不过这题的最左边的数字不确定，所以我们考虑每个数字怎么变化，可以将每个数加1，n就变成1，可以发现其它数对逆序对个数都没有影响，之后n变成1会有，于是就可以愉快地 $O(n)$有序地统计答案了
反思： 对于题目的建模能力需要加强

CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[100005],num[100005],ans,tot,c[100005];
long long lowbit(long long x)
{
	return x&(-x);
}
void change(long long k)
{
	while (k<=n)
	{
		c[k]++;
		k+=lowbit(k);
	}
}
long long getsum(long long k)
{
	long long sum=0;
	while (k>=1)
	{
		sum+=c[k];
		k-=lowbit(k);
	}
	return sum;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	long long i;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		num[a[i]]=i;
	}
	tot=0;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		tot+=getsum(n-a[i]+1);
		change(n-a[i]+1);
	}
	ans=tot;
	for (i=n;i>=1;i--)
	{
		tot=tot+num[i]*2-n-1;
		ans=min(ans,tot);	
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}