01背包 题解

题目描述

https://www.acwing.com/problem/content/2/

样例输入

略

样例输出

略

算法描述

我们的状态数组 $f[i][j]$
指在背包有 $j$的容量,只有前 $i$件物品时的最大价值
由于每种物品只有选与不选两种情况
所以如果容量允许,那么 $f[i][j]$只有两种选择
选择第 $i$件物品,或不选
(状态转移方程见代码)

然鹅,我们可以使用一些奇妙的手段去掉数组的一维,是空间复杂度更低
即去掉 $i$这一维,使用数组表示背包有 $j$的容量时的最优解
这里有个细节,就是在进行递推的时候, $j$必须从大到小进行遍历
否则会使用一个更新过的值更新接下来的值
具体见代码

时间复杂度

$O(N*M)$

示例代码

优化前

#include <iostream>

using namespace std;
int f[1000][1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])
            {
                if(f[i][j]<f[i-1][j-w[i]]+v[i])
                    f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+v[i];
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

优化后

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int f[1000];
int w[1000];
int v[1000];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}