题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？输入
输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出
输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入
70 3 71 100 69 1 1 2样例输出
3
原题链接：采药
一、 0/1背包动态规划的思想就是：
眼前到了这第 i 棵药，我有两种选择：
1.我要采它：若我采了它，那么我所拥有的时间会减少，而我所获得的价值会增加
2.我不采它：若我不采它，那么我的时间不会减少，价值也不会增加，还保留在i-1步的价值
二、我们约定俗成的设计了一个DP数组int dp[maxn][maxn2];，其原理非常重要：dp[i][j]表示的值是什么？是这个状态的最大value值！什么状态？是在考虑第i个物品（前i-1个已经安排好了），花费时间为j的这么一个状态下，最大值value。
所以我们是不是可以这样认为：整个程序其实就是在构造一个dp数组，它可以把 [第几个物品] - [剩余时多少] - [总价值多少] 这三个要素归纳成一个状态，终点就是dp[所有物品][所有时间]
1、分析第i个物品：
那么就是要确定dp[i][*]，此时cost[i]、value[i]表示第i个物品的花费和时间
2、再分析剩余时间的情况j：
- 如果剩余时间都比cost[i]都小，那肯定采不了，没时间呀。
- 如果我的时间够采i，那我要考虑考虑了：
- 如果我采它，它构成了一种新的状态，我剩的时间减少了cost[i]，而价值是增加value[i]：dp[i][j]->dp[i-1][j-cost[i]]+value[i]
- 如果我不采，我既不花费时间，也不增长价值，状态dp[i][j]和dp[i-1][j]是一样
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 10;
const int maxn2 = 1000 + 10;
int cost[maxn];
int value[maxn];
int dp[maxn][maxn2];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>cost[i]>>value[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++){ //第i个物品（药）是否放入背包（采它）
for(int j=1;j<=n;j++){ // 遍历可能的时间情况
if(j>=cost[i]){ //max(采,不采)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-cost[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
}else{ //cost[i]：采第i个药要花的时间，如果j不够肯定采不了
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
cout<<dp[m][n];
return 0;
}后续优化，将dp数组去掉一维，少了表示i（i个药）的维数，[自底向上]地构造dp数组：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 110;
const int tmaxn = 1010;
int cost[maxn],value[maxn];
int dp[tmaxn];
int main(){
int t,m;
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>cost[i]>>value[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=t;j>=cost[i];j--){
dp[j] = max(dp[j],dp[j-cost[i]]+value[i]);
}
}
cout<<dp[t];
return 0;
}以上就是使用两种DP算法解决0/1背包的问题。
