HDU 6467 简单数学题 广东工业大学第十四届程序设计竞赛 (数学推导+快速幂)

原题题面

已知

求 $F(n)$ $mod$ $1e9+7$

题面分析

乍一看，是个很难的题。
仔细一看，其实是个水题（手动滑稽保命）。
众所周知我们可以发现 $Σ$是通过构造 $F(n-1)$来消去的。
于是↓↓↓

两式相减得↓↓↓

看到这里有些聪明的读者就可能看出来了。

这是一个经典结论， 下面给出证明。
我们都知道

因此我们构造一个新的 $F(n)-F(n-1)$
注意，构造 $F(n-1)$的前提是 $n>1$，所以接下来所有的结论都只是对 $n>1$有效！

相加，合并同类项，得

再两边除2即可，证毕。
这里运用了一个高中数学的公式

证明略，参见二项式定理。
以上过程建议读者自己再推演一遍以加深印象。
OK，所以我们现在得到了 $F(n)$

显而易见，这种属于“一个等差 乘以 一个等比”的数列就要用 错位相减法。
求和过程略，最后我们得到

注意到 $n=1e18$,所以用快速幂处理。

AC代码（390ms）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
long long qsm(long long a,long long b,long long c)//快速幂
{
    long long ans=1,base=a;
    while(b!=0)
	{
        if(b&1)
        ans=ans*base%c;
        base=base*base%c;
        b>>=1;
	}
    return ans%c;
}
int main()
{
	long long n;
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		if(n==1)
			printf("1\n");//特殊情况要特判
		else
			printf("%lld\n",(1+((n-1)%mod)*(qsm(2,n,mod)%mod))%mod);//求和
	}
}

后记

没啥好说的，解题的思路和题面一样简单粗暴，多看几遍就对了。
笔者是个十八线的蒟蒻 $ACMer$，若文中有错误请在评论区下指出，我会尽量修正，谢谢！ （土下座）
数列题全靠莽，大胆猜想，从不求证（滑稽）
DrGilbert 2018.8.21