【数论】SSL_1157 简单数学题

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题意

给出 $N$，求出每一个 $正整数T(0<T<N)$。

$\frac{N - \frac{1}{2}T}{N-T}$

思路

设 $x$为 $N-T$
有
$T=N-x$
然后我们可以转一下公式：
$\frac{N - \frac{1}{2}T}{N-T}$
$=\frac{N - \frac{1}{2}(N-x)}{x}$
$=\frac{\frac{1}{2}N}{x}+ \frac{\frac{1}{2}x}{x}$
$=\frac{N}{2x}+\frac{1}{2}$
设 $k$为一个正整数，根据题意可得
$\frac{N}{2x}+\frac{1}{2}=k$
有
$\frac{N}{x}+1=2k$
因为 $k$是正整数，所以 $2k$为偶数，所以
$\frac{N}{x}为奇数$
综上所述，我们枚举一下 $N$的约数 $x$，根据上面的性质统计答案。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long N, cnt;
long long a[4001];
int main() {
	scanf("%lld", &N);
	for (long long i = 1; i * i < N; i++) {
		long long x = i;
		if (N % x) continue;
		if ((N / x) % 2) a[++cnt] = N - x;
		if (i == 1) continue;
		x = N / i;
		if ((N / x) % 2) a[++cnt] = N - x;
	}
	sort(a + 1, a + cnt + 1);
	printf("%d", cnt);
	for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		printf(" %lld", a[i]);
}