BZOJ3844 （欧拉降幂）

题意： $T$组数据，给定 $p$,求 $2^{2^{2^{2^{...\infin}}}}\bmod p$
数据范围： $T\leq 1000,p\leq 10^7$

题解： 根据欧拉降幂， $2^{2^{2^{2^{...\infin}}}}\bmod p= 2^{2^{2^{2^{...\infin}}}\bmod \varphi(p)+\varphi(p)}\bmod p$
可以看出来递推式了，故设 $f(p)=2^{2^{2^{2^{...\infin}}}}\bmod p$
则 $f(p)=2^{f(\varphi(p))+\varphi(p)}\bmod p$
这里可以线性筛筛出 $\varphi(n)$，或者直接 $O(\sqrt{n})$求每个数的 $\varphi(n)$。
证明：对于 $p$

• 如果是奇数，下次一定变成偶数，因为奇数减 $1$为偶数，故除奇数乘偶数结果为偶数
• 如果是偶数，至少减少 $\frac{n}{2}$，因为根据欧拉函数的定义，至少要除 $2$乘 $1$
  故最多在 $2\log p$次后就会到 $1$，所以时间复杂度就是 $O(T\sqrt{p}\log p)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int phi(int x) {
	int res = x;
	for(int i = 2; 1ll * i * i <= x; i++) {
		if(x % i == 0) {
			res = res / i * (i - 1);
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
	return res;
} 

int qp(int a, int b, int p) {
	int ans = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % p;
		a = 1ll * a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

int f(int p) {
	if(p == 1) return 0;
	int x = phi(p);
	return qp(2, f(x) + x, p);
}

int main()
{
	int T = 1; scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		int p; scanf("%d", &p);
		printf("%d\n", f(p));
	}
}