详解欧拉降幂

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引出：

为了求解这个式子，我们可以怎么做？

暴力pow？快速幂？

很显然，当b大到一定程度时，利用pow或者快速幂这样的算法是无法在给定时间内求解的，这时我们引入欧拉降幂算法，这个算法的特点就是降低幂方的值而不影响最终结果，使我们解决问题的时间缩短。

结论：

先给出欧拉降幂的公式：

其中 代表欧拉函数值

求解：

欧拉函数在这里不做多介绍了，说简单了就是小于等于n的与n互质的数的个数。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX=1000100;
ll  fastPow(ll  a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=1;
    a %= mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans = (ans*a)%mod;
        }
        b >>= 1;
        a = (a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
ll  eulerFunction(ll x)
{
    ll eulerNumbers = x;
    for(ll i = 2; i*i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            eulerNumbers = eulerNumbers / i * (i-1);
            while(x % i == 0)
            {
                x /= i;
            }
        }
    }
    if(x > 1)
    {
        eulerNumbers = eulerNumbers / x * (x-1);
    }
    return eulerNumbers;
}
ll eulerDropPow(ll a,char b[],ll c)
{
    ll eulerNumbers = eulerFunction(c);
    ll descendingPower=0;
    for(ll i=0,len = strlen(b); i<len; ++i)
    {
        descendingPower=(descendingPower*10+b[i]-'0') % eulerNumbers;
    }
    descendingPower += eulerNumbers;
    return fastPow(a,descendingPower,c);
}
int main()
{
    ll a,c;
    char b[MAX];
    while(~scanf("%lld%s%lld",&a,b,&c))  
    {
        printf("%lld\n",eulerDropPow(a,b,c));
    }
    return 0;
}

代码来自学弟粉丝团