欧拉降幂和广义欧拉降幂

先百度贴个欧拉定理

由此可以得到降幂公式

第一个要求a和p互质，第二个和第三个是广义欧拉降幂，不要求a和p互质，但要求b和的大小关系。

那么有了这个公式先写个题目 bzoj3884

题意：求2^(2^(2^(2^(2^...)))) mod p的值

思路:这样子每次求p的欧拉函数，求解log(p)次左右p就变成1了，那么再往后结果都是0了。题解上写的很清楚。

贴个出题人的题解。

代码如下。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
ll ph(ll x)
{
    ll res=x,a=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res=res/a*(a-1);
    return res;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll f(ll p)
{
    if(p==1) return 0;
    ll k=ph(p);
    return quick_pow(2,f(k)+k,p);
}
 
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll p;scanf("%lld",&p);
        printf("%lld\n",f(p));
    }
    return 0;
}

那么再来一题

FZU 1759

思路:B很大，所以需要降幂，套一下公式求一下就行了。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll __int64
#define mod 10000000007
using namespace std;
char a[1000006];
ll x,z;
ll quickpow(ll x,ll y,ll z)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=ans*x%z;
        x=x*x%z;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll n)
{
    ll i,rea=n;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            rea=rea-rea/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
         }
    }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld %s %lld",&x,a,&z)!=EOF)
    {
        ll len=strlen(a);
        ll p=phi(z);
        ll ans=0;
        for(ll i=0;i<len;i++)
            ans=(ans*10+a[i]-'0')%p;
        ans+=p;
        printf("%lld\n",quickpow(x,ans,z));
    }
    return 0;
}