P3317-[SDOI2014]重建【矩阵树定理,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3317

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题目大意

$n$个点若干条边。告诉你每条边出现的概率，求刚好出现一颗生成树的概率是多少。

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解题思路

矩阵树定理是计算每个生成树的每条边乘积之和。

我们考虑将答案转换为那个形式， $a_{i,j}$表示 $i->j$的边出现的概率，那么对于每棵生成树有答案
$\prod_{x->y}a_{i,j}*\prod_{x-/>y}(1-a_{i,j})$
也就是
$\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n(1-a_{i,j})*\prod_{x->y}\frac{a_{i,j}}{1-a_{i,j}}$
所以我们先计算出所有的 $1-a_{i,j}$的乘积，然后再将边权变为 $\frac{a_{i,j}}{1-a_{i,j}}$用矩阵树计算即可。

时间复杂度 $O(n^3)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=51;
const double eps=1e-8;
int n;
double a[N][N],ans;
void Gauss(){
	for(int i=1;i<n;i++){
		int mx=i;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mx][i]))
				mx=j;
		if(mx!=i)
			for(int j=1;j<n;j++)
				swap(a[i][j],a[mx][j]);
		for(int j=i+1;j<n;j++){
			double mul=a[j][i]/a[i][i];
			for(int k=i;k<n;k++)
				a[j][k]-=a[i][k]*mul;
		}
		if(fabs(a[i][i])<eps){
			ans=0;return;
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++)
		ans=ans*a[i][i];
	ans=fabs(ans);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%lf",&a[i][j]);
			if(a[i][j]<eps) a[i][j]=eps;
			if(1-a[i][j]<eps) a[i][j]=1-eps;
			if(i<j) ans*=1-a[i][j];
			a[i][j]=a[i][j]/(1-a[i][j]);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i][i]=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j)
				a[i][i]-=a[i][j];
	}
	Gauss();
	printf("%.10lf",ans);
}