\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\)
T国有N个城市，用若干双向道路连接。一对城市之间至多存在一条道路。
在一次洪水之后，一些道路受损无法通行。虽然已经有人开始调查道路的损毁情况，但直到现在几乎没有消息传回。
幸运的是，此前T国政府调查过每条道路的强度，现在他们希望只利用这些信息估计灾情。具体地，给定每条道路在洪水后仍能通行的概率，请计算仍能通行的道路恰有N-1条，且能联通所有城市的概率。
\(\color{#0066ff}{输入格式}\)
输入的第一行包含整数N。
接下来N行，每行N个实数，第i+l行，列的数G[i][j]表示城市i与j之间仍有道路联通的概率。
输入保证G[i][j]=G[j][i]，且G[i][i]=0；G[i][j]至多包含两位小数。
\(\color{#0066ff}{输出格式}\)
输出一个任意位数的实数表示答案。
你的答案与标准答案相对误差不超过10^(-4)即视为正确。
\(\color{#0066ff}{输入样例}\)
3
0 0.5 0.5
0.5 0 0.5
0.5 0.5 0\(\color{#0066ff}{输出样例}\)
0.375\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)
1 < N < =50
数据保证答案非零时，答案不小于10^-4
\(\color{#0066ff}{题解}\)
根据题目，我们要求的就是
\[ ans=\sum_{E}\prod_{k\in E}P_k\prod_{k\notin E} (1-P_k) \]
如果没有后面那个东西，显然就是裸的矩阵树定理，但是后面的东西很不好处理，尤其是因为\(k\notin E\)
那么，考虑容斥一下， 把\(\notin换成\in\)
\[ ans=\sum_{E}\prod_{k\in E}P_k\frac{\prod_{k}(1-P_k)}{\prod_{k\in E} (1-P_k)} \]
然后把上面提出来，就成这样了
\[ ans=\prod_{k}(1-P_k)\sum_{E}\prod_{k\in E}\frac{P_k}{(1-P_k)} \]
这。。。。这是新的边权！！可以矩阵树直接做！
然后把前面的累乘处理一下即可
矩阵树第一题
有两点需要注意
答案是矩阵的余子式的值，也就是矩阵去掉任一行任一列的行列式的值
度数矩阵的变化
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
char ch; LL x = 0, f = 1;
while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
return x * f;
}
const int maxn = 55;
const double eps = 1e-8;
double ans = 1, mp[maxn][maxn];
int n;
void gauss() {
for(int i = 1; i < n; i++) {
for(int j = i + 1; j < n; j++) {
double now = mp[j][i] / mp[i][i];
for(int k = i; k < n; k++) mp[j][k] -= mp[i][k] * now;
}
ans *= mp[i][i];
}
ans = fabs(ans);
}
int main() {
n = in();
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
scanf("%lf", &mp[i][j]);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++) {
if(fabs(mp[i][j]) <= eps) mp[i][j] = eps;
if(fabs(1 - mp[i][j]) <= eps) mp[i][j] = 1 - eps;
if(i < j) ans *= (1.0 - mp[i][j]);
mp[i][j] = mp[i][j] / (1.0 - mp[i][j]);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(i ^ j) mp[i][i] += mp[i][j], mp[i][j] = -mp[i][j];
gauss();
printf("%.5f", ans);
return 0;
}