题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/13229
题意：
给定一个完全二分图，图的左右两边的顶点数目相同。
要给图中的每条边染成红色、蓝色、或者绿色，并使得任意两条红边不共享端点、同时任意两条蓝边也不共享端点。
计算所有满足条件的染色的方案数，并对10^9+7取模。
思路：
绿色可以看做不存在；
首先看只有红色的情况：用 \(F_i\) 表示二分图的一边有 i 个点的染色方案数。
显然 \(f_0 = 1, f_1 = 2\);
由 \(f_{i - 1} \to f_i\), 图上会增加两个点.
如果两个点没有红线的出度，就是 \(1 * f_{i - 1}\) 种；
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如果两个点之间是红线，和其他的点不连，也是 \(1 * f{i - 1}\)种；
如果两个点只有其中一个点和之前的点连线，是 \(2 * (i - 1) * f_{i - 1}\)种；
但是这样会出现有的情况不符合，与题意不符，例如：
这样的情况是 \(2 * (i - 1) * (i - 1) * f_{i - 2}\) 种，要减去；
如果两个点都和之前的点连线，有 \((i - 1) * (i - 1) * f_{i - 2}\) 种情况；
综上：\(f_i = 2 * i * f_{i - 1} - (i - 1)^2 * f_{i - 2}\) 种；
同理：蓝色和红色一样；
然后容斥，解决红边和蓝边的是同一条边的情况，即至少0边是同一边的情况 - 至少 1 边是同一边 + 至少 2 边是同一边 - 至少 3 边 + ......;
综上：\(ans = \sum_{i = 0}^n(-1)^iC_n^iA_n^if_{n - i}^2\)
AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MOD = 1000000007;
const int MAXN = 10000005;
ll qpow(ll a, ll b, ll m = MOD) {
ll ans = 1;
for (;b;a = (a * a % m), b >>= 1)
if (b & 1)ans = (ans * a % m);
return ans;
}
struct CC {
static const int N = MAXN;
ll fac[N], inv[N];
CC() {
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], MOD - 2, MOD);
for (int i = N - 2; i >= 0; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
}
ll operator()(ll a, ll b) { //a>=b
if (a < b)return 0;
return fac[a] * inv[a - b] % MOD * inv[b] % MOD;
}
}C;
ll f[MAXN];
inline void solve()
{
int n; cin >> n;
f[0] = 1, f[1] = 2;
for (ll i = 2; i <= n; ++i)
f[i] = (2 * i % MOD * f[i - 1] % MOD - (i - 1) * (i - 1) % MOD * f[i - 2] % MOD + MOD) % MOD;
ll ans = 0, op, temp;
for (ll i = 0; i <= n; ++i)
{
op = (i & 1) ? -1 : 1;
temp = C(n, i) * C(n, i) % MOD * C.fac[i] % MOD * f[n - i] % MOD * f[n - i] % MOD;
ans = ((ans + op * temp) % MOD + MOD) % MOD;
}
cout << ans << endl;
}
int main()
{
int T = 1;// cin >> T;
for (int i = 1; i <= T; ++i) solve();
return 0;
}