逆序对 牛客每日一题

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/14731
来源：牛客网

求所有长度为n的01串中满足如下条件的二元组个数：
设第i位和第j位分别位ai和aj（i<j），则ai=1,aj=0。
答案对1e9+7取模。

思路

数据范围 n < 10^18,暴力肯定不太可能，应该考虑推公式

根据题意，一个字符串所有满足题意的二元组个数为所有0位的前面的1的数量的和，或者每一个1位后面0的数量求和。

这里说一下第一种

对于所有可能的01串的前i-1位，1的个数有 （i-1) /2*2^(i-1)。对于第 i + 1 ~ n位(2^(n-i)种可能），对于第i位的0的贡献没有影响，所以再乘上
2^（n-i)

所以对于第i位是0的所有字符串该位对答案的贡献是 (i-1)*2^(n-2)
i 2~n 求和 ans = （n-1)n2(n-3)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9 + 7;
ll fun(ll x,ll y){
    
    
    ll f = x;
    x = 0;
    while(y){
    
    
        if(y&1)
            x  = (x + f) %mod;
        y >>=1;
        f = (f + f)%mod;
    }
    return x;
}

ll qqow(ll x){
    
    
    ll f = 2;
    ll ans = 1;
    while(x){
    
    
        if(x&1)
            ans = fun(ans,f)%mod;
        x>>=1;
        f = fun(f,f)%mod;
    }
    return ans;
}

int main(){
    
    
    ll n;
    cin >> n;
    ll ans;
    
    if(n <= 1){
    
    
        cout << 0;
        return 0;
    }
    if(n == 2){
    
    
        cout << 1;
        return 0;
    }
     ans=(n%mod)*((n-1)%mod)%mod*qqow(n-3)%mod;
    //ans = fun(fun(n,n-1),qqow(n-3));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}