【线性 dp】A010_LC_正则表达式匹配（分类讨论）

一、Problem

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。

‘.’ 匹配任意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素
所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:

s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。

输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。

二、Solution

方法一：dp

• 定义状态：
  • $f[i][j]$ 表示 s 的前 $i$ 个字符能否被 p 的前 $j$ 个字符匹配
• 思考初始化：
  • $f[0][0] = true$，表示空串与空串可匹配
  • $f[0][j] = f[0][j-2]\ \&\&\ p[i-1] = *$ 表示字符串 p 的前 $j$ 个字符只有当 $p[j-2]$ 为空串，且 $s[j-1]$ 为 $*$ 时才可以匹配。
• 思考状态转移方程：注： $（i \geqslant 1 \&\& j \geqslant 1）$
  • 如果 $s[i] = p[j]\ ||\ p[j] = .$ 则有 $f[i][j] = f[i-1][j-1]$，否则 —>
  • 如果 $p[j] = *$，此时的 * 号有两种作用：
    • 清空：有 $f[i][j] = f[i][j-2]$，即将字符串 p 的第 $j-1$ 个字符清走，比如 (ab, abc*)，就将字母 c 清走
    • 补全：如果 $f[i-1][j]\ \&\&\ (s[i-1] = p[j-1]\ ||\ p[j-1] = .)$ 即 (abbb，ab*)，或者 (abbb，ab* / a.*)
• 思考输出： $f[n][m]$

还是有点复杂的，如果没有正则表达式基础的同学可能会有点晕，可以放一放…

class Solution {
    public boolean isMatch(String S, String P) {
        char s[] = S.toCharArray(), p[] = P.toCharArray();
        int n = s.length, m = p.length;
        boolean f[][] = new boolean[n+1][m+1];
        f[0][0] = true;
        for (int j = 2; j <= m; j++) 
            f[0][j] = f[0][j-2] && p[j-1] == '*';

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.') {
                f[i][j] = f[i-1][j-1];
            } else if (p[j-1] == '*') {
                f[i][j] = f[i][j-2] || f[i-1][j] && (s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.');
            }
        }
        
        return f[n][m];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n × m)$，
• 空间复杂度： $O(n × m)$，