【线性 dp】B011_LC_删除一次得到子数组最大和（分类讨论 / 空间压缩）

一、Problem

给你一个整数数组，返回它的某个 非空 子数组（连续元素）在执行一次可选的删除操作后，所能得到的最大元素总和。

换句话说，你可以从原数组中选出一个子数组，并可以决定要不要从中删除一个元素（只能删一次哦），（删除后）子数组中至少应当有一个元素，然后该子数组（剩下）的元素总和是所有子数组之中最大的。

注意，删除一个元素后，子数组 不能为空。

输入：arr = [1,-2,0,3]
输出：4
解释：我们可以选出 [1, -2, 0, 3]，然后删掉 -2，这样得到 [1, 0, 3]，和最大。

输入：arr = [1,-2,-2,3]
输出：3
解释：我们直接选出 [3]，这就是最大和。

二、Solution

方法一：dp

• 定义状态：
  • $f[i][0]$ 表示以 $a[i]$ 结尾且没删过元素的子数组最大总和
  • $f[i][1]$ 表示以 $a[i]$ 结尾且删除过元素的子数组最大总和
• 思考初始化：
  • $f[0][0] = a[0]$
  • $f[0][1] = 0$
• 思考状态转移方程：
  • $f[i][0] = max(f[i-1][0] + a[i], a[0])$ 要么接着前一段，要么新开一段。
  • $f[i][1] = max(f[i-1][1] + a[i], f[i-1][0])$ 要么接着前一段；要么删除 $a[i]$ 就此断开。
• 思考输出： $max(f[0...n)[0], f[0...n)[1])$

class Solution {
    public int maximumSum(int[] a) {
        int n = a.length, INF = (int) -2e5, max = a[0], f[][] = new int[n][2];
        f[0][0] = a[0];
        f[0][1] = 0;
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(a[i], f[i-1][0] + a[i]);
            f[i][1] = Math.max(f[i-1][0], f[i-1][1] + a[i]);
            max = Math.max(max, Math.max(f[i][0], f[i][1]));
        }
        return max;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O()$，
• 空间复杂度： $O()$，

---

方法二：空间压缩

可以进行空间压缩，因为 f[i][0] 和 f[i][1] 只与前前一个状态有关

class Solution {
    public int maximumSum(int[] a) {
        int n = a.length, max = a[0];
        int fi_0 = a[0], fi_1 = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int pre_fi_0 = fi_0;
            fi_0 = Math.max(fi_0 + a[i], a[i]);
            fi_1 = Math.max(fi_1 + a[i], pre_fi_0);
            max = Math.max(max, Math.max(fi_0, fi_1));
        }
        return max;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(n)$，
• 空间复杂度： $O(1)$，