线性判别准则与线性分类编程实践

一、概论

一、线性判别准则（LDA）

线性判别分析LDA(Linear Discriminant Analysis)又称为Fisher线性判别，是一种监督学习的降维技术，也就是说它的数据集的每个样本都是有类别输出的，这点与PCA（无监督学习）不同。LDA在模式识别领域（比如人脸识别，舰艇识别等图形图像识别领域）中有非常广泛的应用。

1.Fisher准则

基本思想：对于两个类别线性分类的问题，选择合适的阈值，使得Fisher准则函数达到极值的向量作为最佳投影方向，与投影方向垂直的超平面就是两类的分类面，使得样本在该方向上投影后，达到最大的类间离散度和最小的类内离散度。
Fisher线性判别并不对样本的分布进行任何假设，但在很多情况下，当样本维数比较高且样本数也比较多时，投影到一维空间后样本接近正态分布，这时可以在一维空间中用样本拟合正态分布，用得到的参数来确定分类阈值。
1.感知机准则
基本思想：对于线性判别函数，当模式的维数已知时，判别函数的形式实际上就已经确定下来，线性判别的过程即是确定权向量? 。感知机是一种神经网络模型，其特点是随意确定判别函数初始值，在对样本分类训练过程中，针对分类错误的样本不断进行权值修正，逐步迭代直至最终分类符合预定标准，从而确定权向量值。可以证明感知机是一种收敛算法，只要模式类别是线性可分的，就可以在有限的迭代步数里求出权向量的解。
优点：简单、便于实现。
缺点：结果不唯一，在线性不可分情况下不收敛。
3. 最小二乘准则
最小二乘准则(least squares criterion)进行最小二乘平差计算的一个基本原则。它是求解不定线性方程组的一个附加条件。在任何平差计算中，所列出的方程式的个数，总是少于方程中所包含的未知量的个数，因此其解不惟一在最小二乘准则下求解，可以得到一组惟一解。
若在平差中，只有观测值为随机量时，最小二乘准则为VTPV=min。
如果不仅仅观测值为随机量，而且参数也是随机量时，则最小二乘准则为VTPV+.xTP}.x = min，并称它为广义最小二乘准则。V是观测向量的改正数向量，P是观测向量的权阵，x是参数向量的改正数向量，P二是参数向量的权阵。

二、线性分类算法（支持向量机,SVM）

支持向量机（support vector machines,SVM）是一种二分类模型，它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器，其目标是在特征空间中找到一个分离超平面，能将实例分到不同的类，分离超平面将特征空间划分为两部分，正类和负类，法向量指向的为正类。

1.SVM算法原理

SVM学习的基本想法是求解能够正确划分训练数据集并且几何间隔最大的分离超平面。如下图所示， 即为分离超平面，对于线性可分的数据集来说，这样的超平面有无穷多个（即感知机），但是几何间隔最大的分离超平面却是唯一的。

二、LDA实现

代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets.samples_generator import make_classification
 
class LDA():
    def Train(self, X, y):
        """X为训练数据集，y为训练label"""
        X1 = np.array([X[i] for i in range(len(X)) if y[i] == 0])
        X2 = np.array([X[i] for i in range(len(X)) if y[i] == 1])
 
        # 求中心点
        mju1 = np.mean(X1, axis=0)  # mju1是ndrray类型
        mju2 = np.mean(X2, axis=0)
 
        # dot(a, b, out=None) 计算矩阵乘法
        cov1 = np.dot((X1 - mju1).T, (X1 - mju1))
        cov2 = np.dot((X2 - mju2).T, (X2 - mju2))
        Sw = cov1 + cov2
        # 计算w
        w = np.dot(np.mat(Sw).I, (mju1 - mju2).reshape((len(mju1), 1)))
        # 记录训练结果
        self.mju1 = mju1  # 第1类的分类中心
        self.cov1 = cov1
        self.mju2 = mju2  # 第2类的分类中心
        self.cov2 = cov2
        self.Sw = Sw  # 类内散度矩阵
        self.w = w  # 判别权重矩阵
    def Test(self, X, y):
        """X为测试数据集，y为测试label"""
        # 分类结果
        y_new = np.dot((X), self.w)
        # 计算fisher线性判别式
        nums = len(y)
        c1 = np.dot((self.mju1 - self.mju2).reshape(1, (len(self.mju1))), np.mat(self.Sw).I)
        c2 = np.dot(c1, (self.mju1 + self.mju2).reshape((len(self.mju1), 1)))
        c = 1/2 * c2  # 2个分类的中心
        h = y_new - c
        # 判别
        y_hat = []
        for i in range(nums):
            if h[i] >= 0:
                y_hat.append(0)
            else:
                y_hat.append(1)
        # 计算分类精度
        count = 0
        for i in range(nums):
            if y_hat[i] == y[i]:
                count += 1
        precise = count / nums
        # 显示信息
        print("测试样本数量:", nums)
        print("预测正确样本的数量:", count)
        print("测试准确度:", precise)
        return precise
if '__main__' == __name__:
    # 产生分类数据
    n_samples = 500
    X, y = make_classification(n_samples=n_samples, n_features=2, n_redundant=0, n_classes=2,n_informative=1, n_clusters_per_class=1, class_sep=0.5, random_state=10)
    # LDA线性判别分析(二分类)
    lda = LDA()
    # 60% 用作训练，40%用作测试
    Xtrain = X[:299, :]
    Ytrain = y[:299]
    Xtest = X[300:, :]
    Ytest = y[300:]
    lda.Train(Xtrain, Ytrain)
    precise = lda.Test(Xtest, Ytest)
    # 原始数据
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], marker='o', c=y)
    plt.xlabel("x1")
    plt.ylabel("x2")
    plt.title("Test precise:" + str(precise))
    plt.show()

月亮数据集
代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_moons
class LDA():
    def Train(self, X, y):
        """X为训练数据集，y为训练label"""
        X1 = np.array([X[i] for i in range(len(X)) if y[i] == 0])
        X2 = np.array([X[i] for i in range(len(X)) if y[i] == 1])
        # 求中心点
        mju1 = np.mean(X1, axis=0)  # mju1是ndrray类型
        mju2 = np.mean(X2, axis=0)
        # dot(a, b, out=None) 计算矩阵乘法
        cov1 = np.dot((X1 - mju1).T, (X1 - mju1))
        cov2 = np.dot((X2 - mju2).T, (X2 - mju2))
        Sw = cov1 + cov2
        # 计算w
        w = np.dot(np.mat(Sw).I, (mju1 - mju2).reshape((len(mju1), 1)))
        # 记录训练结果
        self.mju1 = mju1  # 第1类的分类中心
        self.cov1 = cov1
        self.mju2 = mju2  # 第1类的分类中心
        self.cov2 = cov2
        self.Sw = Sw  # 类内散度矩阵
        self.w = w  # 判别权重矩阵
    def Test(self, X, y):
        """X为测试数据集，y为测试label"""
        # 分类结果
        y_new = np.dot((X), self.w)
        # 计算fisher线性判别式
        nums = len(y)
        c1 = np.dot((self.mju1 - self.mju2).reshape(1, (len(self.mju1))), np.mat(self.Sw).I)
        c2 = np.dot(c1, (self.mju1 + self.mju2).reshape((len(self.mju1), 1)))
        c = 1/2 * c2  # 2个分类的中心
        h = y_new - c
        # 判别
        y_hat = []
        for i in range(nums):
            if h[i] >= 0:
                y_hat.append(0)
            else:
                y_hat.append(1)
        # 计算分类精度
        count = 0
        for i in range(nums):
            if y_hat[i] == y[i]:
                count += 1
        precise = count / (nums+0.000001)
        # 显示信息
        print("测试样本数量:", nums)
        print("预测正确样本的数量:", count)
        print("测试准确度:", precise)
        return precise
if '__main__' == __name__:
    # 产生分类数据
    X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=42)
    # LDA线性判别分析(二分类)
    lda = LDA()
    # 60% 用作训练，40%用作测试
    Xtrain = X[:60, :]
    Ytrain = y[:60]
    Xtest = X[40:, :]
    Ytest = y[40:]
    lda.Train(Xtrain, Ytrain)
    precise = lda.Test(Xtest, Ytest)
    # 原始数据
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], marker='o', c=y)
    plt.xlabel("x1")
    plt.ylabel("x2")
    plt.title("Test precise:" + str(precise))
    plt.show()
 

三、SVM实现

代码：

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
import numpy as np
import matplotlib as mpl
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVC
# 为了显示中文
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False#rc配置或rc参数，通过rc参数可以修改默认的属性，包括窗体大小、每英寸的点数、线条宽度、颜色、样式、坐标轴、坐标和网络属性、文本、字体等。
X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=42)#生成月亮数据集
def plot_dataset(X, y, axes):#绘制图形
    plt.plot(X[:, 0][y==0], X[:, 1][y==0], "bs")
    plt.plot(X[:, 0][y==1], X[:, 1][y==1], "g^")
    plt.axis(axes)
    plt.grid(True, which='both')
    plt.xlabel(r"$x_1$", fontsize=20)
    plt.ylabel(r"$x_2$", fontsize=20, rotation=0)
    plt.title("月亮数据",fontsize=20)
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plt.show()

鸢尾花数据集算法二

# 鸢尾花数据集SVM算法二分类
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets, svm
import pandas as pd
from pylab import *
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
iris = datasets.load_iris()
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data                  
y = iris.target                
X = X[y != 0, :2]             # 选择X的前两个特性
y = y[y != 0]
n_sample = len(X)              
np.random.seed(0)
order = np.random.permutation(n_sample)  # 排列，置换
X = X[order]
y = y[order].astype(np.float)
X_train = X[:int(.9 * n_sample)]
y_train = y[:int(.9 * n_sample)]
X_test = X[int(.9 * n_sample):]
y_test = y[int(.9 * n_sample):]
#合适的模型
for fig_num, kernel in enumerate(('linear', 'rbf','poly')):  # 径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF),常用的是高斯基函数
    clf = svm.SVC(kernel=kernel, gamma=10)   # gamma是“rbf”、“poly”和“sigmoid”的核系数。
    clf.fit(X_train, y_train)
    plt.figure(str(kernel))
    plt.xlabel('x1')
    plt.ylabel('x2')
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, zorder=10, cmap=plt.cm.Paired, edgecolor='k', s=20)
    # zorder: z方向上排列顺序，数值越大，在上方显示
    # paired两个色彩相近输出(paired)
    # 圈出测试数据
    plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], s=80, facecolors='none',zorder=10, edgecolor='k')
    plt.axis('tight')  #更改 x 和 y 轴限制，以便显示所有数据
    x_min = X[:, 0].min()
    x_max = X[:, 0].max()
    y_min = X[:, 1].min()
    y_max = X[:, 1].max()
    XX, YY = np.mgrid[x_min:x_max:200j, y_min:y_max:200j]   
    Z = clf.decision_function(np.c_[XX.ravel(), YY.ravel()])  # 样本X到分离超平面的距离
    Z = Z.reshape(XX.shape)
    plt.contourf(XX,YY,Z>0,cmap=plt.cm.Paired)  
    plt.contour(XX, YY, Z, colors=['r', 'k', 'b'],
                linestyles=['--', '-', '--'], levels=[-0.5, 0, 0.5])   # 范围
    plt.title(kernel)
plt.show()

月亮数据集二

# 月亮数据集SVM二分类
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.pipeline import Pipeline
import numpy as np
import matplotlib as mpl
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.svm import LinearSVC
# 为了显示中文
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=42)
def plot_dataset(X, y, axes):
    plt.plot(X[:, 0][y==0], X[:, 1][y==0], "bs")
    plt.plot(X[:, 0][y==1], X[:, 1][y==1], "g^")
    plt.axis(axes)
    plt.grid(True, which='both')
    plt.xlabel(r"$x_1$", fontsize=20)
    plt.ylabel(r"$x_2$", fontsize=20, rotation=0)
    plt.title("月亮数据",fontsize=20)
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
polynomial_svm_clf = Pipeline([
        # 将源数据 映射到 3阶多项式
        ("poly_features", PolynomialFeatures(degree=3)),
        # 标准化
        ("scaler", StandardScaler()),
        # SVC线性分类器
        ("svm_clf", LinearSVC(C=10, loss="hinge", random_state=42))
    ])
polynomial_svm_clf.fit(X, y)
def plot_predictions(clf, axes):
    # 打表
    x0s = np.linspace(axes[0], axes[1], 100)
    x1s = np.linspace(axes[2], axes[3], 100)
    x0, x1 = np.meshgrid(x0s, x1s)
    X = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
    y_pred = clf.predict(X).reshape(x0.shape)
    y_decision = clf.decision_function(X).reshape(x0.shape)
#     print(y_pred)
#     print(y_decision)  
    plt.contourf(x0, x1, y_pred, cmap=plt.cm.brg, alpha=0.2)
    plt.contourf(x0, x1, y_decision, cmap=plt.cm.brg, alpha=0.1)
plot_predictions(polynomial_svm_clf, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plot_dataset(X, y, [-1.5, 2.5, -1, 1.5])
plt.show()
 

四、参考博客

机器学习笔记

分类算法----线性可分支持向量机（SVM）算法的原理推导