正交矩阵学习

今天做作业的时候，碰到有关正交矩阵的题目，有点不是那么懂原理那些，就找下资料学一下，现在就将我所学到的知识点，列出来，供大家学习参考。如果有哪里写的不对的话，就留言告诉博主一下！若觉得写的还不错的话，就点个赞吧！

先看下怎么定义正交矩阵吧：
A matrix A is orthogonal if A ^T A = I.
这个定义是不是很难读的懂啊，没关系，给各位一个例子看就知道了。
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} , A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}, A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$
那么，矩阵A就是正交矩阵。

讲完定义了，就接着看下它有什么属性，这对以后做题很有帮助。
属性 1：If A is an m x n orthogonal matrix and B is an n x p orthogonal, then AB is orthogonal.
证明：(AB)^T (AB) = (B^T A^T )(AB) = B^T (A^T A)B = B^T I B = B^T B = I

属性 2: If A is an orthogonal square matrix, then A^T = A^-1

属性 3：If A is an orthogonal square matrix, then AA^T = I

属性 4：If A is an orthogonal square matrix, then A^T is orthogonal
证明：(A^T )^T A^T = AA^T = I

属性5：If A is an orthogonal square matrix, then det A = $\pm$ 1
证明：|A|² = |A| $\cdot$ |A| = |A^T | $\cdot$ |A| = |A^T A| = |I| = 1. Thus, |A| = $\pm$ 1.